Recherche d’intégrale - PTSI

@bisam :
Où vois-tu un quotient ?

Bonjour Alex2237.

Il n'y a pas de méthode miracle pour voir sur l'expression la (les) méthode qui permettra de la calculer. Il y a des centaines de questions sur des intégrales sur ce forum, et à chaque fois, il a fallu voir la forme particulière pour les plus simples (comme la tienne), ou trouver un chemin, parfois pas évident même quand on a le calcul.
La base est de comprendre les résultats des dérivations, par exemple ici, savoir que sin est une dérivée de cos (au signe près, mais ce n'est pas important avant de calculer), que cos est la dérivée de sin, et choisir ce qui pourrait servir. On n'a plus le droit, à ton niveau de rater une dérivée évidente.
Après, il y a des cas élémentaires où l'intégration par parties est s*évidente. Savoir dériver permet de voir si on a une forme U'V avec un U qui va "bien s'arranger" avec V', sans avoir besoin de calculer. Puis, pour le changement de variables, il y a des tas de cas simples (ton intégrale avec le changement t=cos(x) - mais ça revient à voir que c'est une dérivée), des cas systématiques (fonction de exp(x), fractions rationnelles, ...) que tu apprendras au fur et à mesure.

Mais comme la plupart des fonctions (même continues) n'ont pas de primitive exprimable simplement, le calcul intégral est une collection de méthodes disparates, et calculer les intégrales n'est jamais évident.

Cordialement.

Bonjour, et bien oui, celà change quelque chose dans la mesure où $\sin(x)$ est désormais au dénominateur de sorte que la forme précédente n'est plus envisageable...Mais si tu connais l'égalité $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, tu peux multiplier numérateur et dénominateur de ta fraction par $\sin(x)$ pour obtenir une forme $u'\times f(u)$ avec $f$ une fraction rationnelle facile à décomposer en éléments simples. Il reste à savoir décomposer quand toutes les racines du dénominateur sont simples...ou bien à savoir primitiviser la forme $\dfrac{1}{ax^2 + bx + c}$ quand le trinôme admet deux racines complexes conjuguées.

Pas d'accord avec 'l'absence de méthodes miracles' Dans le cours de mathématiques de première année d’études supérieures figure un paragraphe 'réduction de certaines primitives à des primitives de fractions rationnelles' avec quatre ou cinq types suivant les écoles, Mais un des types est $R(\sin x, \cos x)$ ou $R$ est une fraction rationnelle de deux variables. Et il y a des méthodes canoniques qui doivent être sues, avant d'apprendre à repérer parfois des circonstances simplificatrices.

De la bête technique avant l'astuce.

Tant pis pour le dogmatisme, mais ces méthodes ne doivent pas être apprises au fur et à mesure, mais dès le début, et systématiquement. On s'occupera de $\sin x/x$ ou de $e^{-x^2/2}$ plus tard.

[P. Il vaudrait mieux installer un correcteur d'orthographe français, plutôt qu'utiliser le codage $\LaTeX$ qui, sur le forum, n'est traduit que dans les expressions mathématiques. :-) AD]

P.,

Alex2237 n'est-il pas en train d'apprendre justement ces méthodes ? Avec la demande du début, j'ai cru qu'il commençait à apprendre la recherche de primitives (c'était du niveau terminale, ou application immédiate du changement de variable). Maintenant qu'il a écrit qu'il cherchait une primitive de l'inverse, je suis plus inquiet, car il pose la question "cela change-t-il quelque chose?" qui est une question de pur débutant qui espère encore que les primitives de l'inverse s'obtiennent encore avec l'inverse d'une primitive (primitive de $\frac 1 x$ ? On prend $\frac 2 {x^2}$ !!!).

Donc effectivement, "ces méthodes ne doivent pas être apprises au fur et à mesure, mais dès le début", c'est ce que j'ai fait quand j'étais étudiant, mais ça prend "un certain temps". Qu'est-ce qu'on fait pendant ce temps ?
Si c'est une critique du programme de PTSI, je ne comprends pas, je ne connais pas les prépas. Si ça me concerne, tu tapes à côté, je n'enseigne plus.

Cordialement.