Distributions
dans Analyse
Bonjour, j'ai une petite question à propos des distributions.
Je dois calculer la transformée de Fourier de $\delta_0^{(p)}$, et trouver $i^p \xi^p$. Mais je trouve quelque chose de différent... Voici mes calculs.
Soit $\phi$ une fonction test :
$$ <F\delta_0^{(p)},\phi>\,=\,<\delta_0^{(p)},F\phi>\,=\Big(\frac{\delta ^p}{\delta \xi ^p}\int_{\mathbb{R}} e^{-ix\xi}\phi(x)dx\Big)(\xi=0) =\int (-ix)^p \phi(x)dx ,
$$ ce qui me fait conclure : $\delta_0^{(p)} = (-ix)^p$.
Mais le $x$ et le $\xi$ ne sont pas le même objet...
Merci de votre coup d’œil !
(PS: je crois qu'une barre verticale s'est glissée après tout mes codes Latex, mais cela ne veut rien dire il ne faut pas y faire attention, je n'arrive pas à l'enlever)
edit: une erreur corrigée en rentrant le (-ix)^p dans l'intégrale. Thibault314
Je dois calculer la transformée de Fourier de $\delta_0^{(p)}$, et trouver $i^p \xi^p$. Mais je trouve quelque chose de différent... Voici mes calculs.
Soit $\phi$ une fonction test :
$$ <F\delta_0^{(p)},\phi>\,=\,<\delta_0^{(p)},F\phi>\,=\Big(\frac{\delta ^p}{\delta \xi ^p}\int_{\mathbb{R}} e^{-ix\xi}\phi(x)dx\Big)(\xi=0) =\int (-ix)^p \phi(x)dx ,
$$ ce qui me fait conclure : $\delta_0^{(p)} = (-ix)^p$.
Mais le $x$ et le $\xi$ ne sont pas le même objet...
Merci de votre coup d’œil !
(PS: je crois qu'une barre verticale s'est glissée après tout mes codes Latex, mais cela ne veut rien dire il ne faut pas y faire attention, je n'arrive pas à l'enlever)
edit: une erreur corrigée en rentrant le (-ix)^p dans l'intégrale. Thibault314
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Réponses
Pour la barre verticale, c'est juste un problème d'affichage, moi je ne la vois pas.
Je ne vois pas d'erreur de calcul dans la première égalité...
Par contre, oui je n'aurai pas dû sortir le $x$ de l'intégrale! Mais cela ne change rien à mon problème ahaha
C'est dans la deuxième égalité qu'il manque $(-1)^p$.
Je pense que tu as raison. J'avais zappé la transformée de Fourier qui est l'objet de la première égalité (je croyais que c'était une dérivation p-ième alors que cette dérivation est en effet l'objet de la seconde égalité)
Pour la dérivation d'une distribution voir:
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathématiques)#Dérivation_des_distributions
Une distribution, si je me souviens bien, est une forme linéaire (continue) sur l'espace des fonctions infiniment dérivables à décroissance rapide.
En l'occurrence, sauf erreur, tu viens de montrer que la distribution étudieé est de la forme $\displaystyle \varphi\rightarrow \int_{\mathbb{R}}f(x)\varphi(x)dx$ , $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
Ce qui fait que cette distribution est définie par la donnée de $f$ qui est une fonction.
Et qu'abusivement on va dire que cette distribution est $f$.
Ce sont des variables muettes : $\displaystyle\int (ix)^p \phi(x)\,{\rm d}x = \int (i\xi)^p \phi(\xi)\,{\rm d}\xi$.