Nature d'une suite

mathspe · November 2020

Bonjour. Je n'arrive à voir si cette suite est bornée ou non,
$$
u_k=\sqrt{k}\sum^k_{j=0}\frac{\Gamma(k+\frac{1}{2})}{\Gamma(j+\frac{1}{2})\Gamma(k+1-j)}\frac{(2j)^j}{j!}e^{-j}.

$$ Merci d'avance pour toute indication.

Misan · November 2020

Bonjour,
L'étude du dernier terme de la somme suffit.

mathspe · November 2020

Merci beaucoup, la série diverge donc.

jean lismonde · December 2020

bonjour

je ne comprends pas la réponse de Misan

le dernier terme de la somme est équivalent à $\frac{1}{k^k\sqrt{2\pi}}$ d'après Stirling
ce dernier terme converge très rapidement vers 0 pour k infini

et le premier terme obtenu pour j = 0
converge rapidement lorsque k tend vers + oo vers $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ par valeurs supérieures

la suite est apparemment croissante
(dans la somme tous les termes sont positifs et les premiers termes de $u_k$ sont effectivement croissants)
même si le premier terme de la somme décroît lentement avec k

la suite $u_k$ peut-elle être bornée ?
ce n'est pas évident même si la suite semble convergente

cordialement

mathspe · December 2020

Bonjour@jean lismonde. Le dernier terme est équivaut à $\frac{2^k}{\sqrt{2\pi}}$.

Nature d'une suite

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Bonjour!

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