Arrivée non impromptue des solutions -équadif
dans Analyse
Bonjour
champs équations différentielles, fonction de R vers R
Visée: essayer de transmettre à un proche l'envie, dans ses démonstrations, de ne pas parachuter ses solutions mais d'arriver à les faire émerger de l'énoncé.
Par exemple l'équation f dérivable sur R, tout x réel f'(x)=f(x) et f(0)=1.
Mon proche m'a démontré qu'il n'y avait qu'une solution exponentielle(x) [par variation de la constante]
Mais je lui ai demandé "Mais d'où sort ton exponentielle (x) ?
Objet
Quelqu'un aurait-il une résolution (sans faille de raisonnement: ne diviser par f(x) que si il est non nul ) faisant surgir spontanément la solution de l'énoncé.
Merci.
champs équations différentielles, fonction de R vers R
Visée: essayer de transmettre à un proche l'envie, dans ses démonstrations, de ne pas parachuter ses solutions mais d'arriver à les faire émerger de l'énoncé.
Par exemple l'équation f dérivable sur R, tout x réel f'(x)=f(x) et f(0)=1.
Mon proche m'a démontré qu'il n'y avait qu'une solution exponentielle(x) [par variation de la constante]
Mais je lui ai demandé "Mais d'où sort ton exponentielle (x) ?
Objet
Quelqu'un aurait-il une résolution (sans faille de raisonnement: ne diviser par f(x) que si il est non nul ) faisant surgir spontanément la solution de l'énoncé.
Merci.
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Réponses
Donc, $\quad \big(f'(x) - f(x)\big)e^{-x} = 0.$
Donc, $\quad \big(f(x)e^{-x}\big)' = 0.$
D'où, $\quad f(x) = C e^x.$
[Ne pas abuser des expressions centrées. :-) AD]
L'exponentielle est une solution évidente (ne dis pas que c'est parachuté, si on ne connaît pas l'exponentielle, on ne peut pas résoudre) ses multiples aussi. On utilise un truc classique : la variation de la constante (inventé au dix neuvième siècle) et qui correspond à perturber la solution connue. Donc on prend une solution de la forme $f(x)=k(x)e^x$; etc.
Cordialement.
NB : Il y a des "trucs", en maths, qui ont été trouvé par des mathématiciens. Il est utile de ls connaître. Ceux qui servent souvent (par exemple la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples) prennent le nom de "méthode". Sur le forum géométrie, une méthode est très justement appelée "le truc de Morley".
ANALYSE DU PROBLEME, f c'est la solution
f(0)=1, f est continue en 0, 1/2 est positif, donc il existe un réel positif alpha, tel que
si |x|<alpha on a |f(x)-f(0)|<1/2 donc |f(x)-1|<1/2 donc -1/2<f(x)-1<1/2 donc -1/2<f(x)-1 donc 1-1/2<f(x) donc f(x)>1/2
On étudie donc f sur ]-alpha, alpha[, où on a f(x)>1/2 donc f(x)>0
on a f'(x)=f(x) donc f'(x)/f(x)=1
donc si je prend u et v arbitraires dans ]-alpha, alpha[,tels que u<v
l'intégrale entre u et v de f"(x)/f(x) = intégrale entre u et v de 1
donc logarithme de valeur absolue de f(v) - logarithme de valeur absolue de f(u)= v-u
donc logarithme de valeur absolue de f(v)-v= logarithme de valeur absolue de f(u)-u ceci pour u et v arbitraires dans ]-alpha, alpha[
cela signifie que
il existe C appartenant à R, tel que pour tout x de ]-alpha, alpha[
logarithme de valeur absolue de f(x)-x=C
il existe C appartenant à R, tel que pour tout x de ]-alpha, alpha[
logarithme de valeur absolue de f(x)=x+C
il existe C appartenant à R, tel que pour tout x de ]-alpha, alpha[
valeur absolue de f(x)= exponentielle(x+C)=exponentielle x X exponentielle C
il existe K appartenant à R+*, tel que pour tout x de ]-alpha, alpha[
valeur absolue de f(x)= K * exponentielle
il existe L appartenant à R*, tel que pour tout x de ]-alpha, alpha[
f(x)= L * exponentielle
mais comme f(0)=1, , L=1, donc
pour tout f solution on a
il existe un réel positif alpha, tel que pour tout x de ]-alpha, alpha[ f(x)=exponentielle(x)
Mais rien ne nous dit à priori qu'en dehors de ]-alpha, alpha[ f(x), f ne va pas s'annuler ?
comment terminer et démontrer que f(x) vaut exponentielle(x), POUR TOUT x de R?
Sinon, moi je commencerais par dire la chose suivante : l'équation $y'=ay$ est la version continue du problème $x_{n+1}-x_n=ax_n$ que l'on sait résoudre facilement. On tire $x_n=x_0 (1+a)^n$. Par, ce qui est pour l'instant qu'une analogie, j'ai envie de tester $f(x)=k a^x$, et on voit en substituant que ça fonctionne avec $a=e$. Si d'ailleurs on pousse un peu plus loin cette idée, pour passer du discret au continu, on découpe $[0,x]$ en $n$ sous-intervalles, et je pense que l'on va faire apparaître du $(1+x/n)^n$ qui est connu pour tendre vers $e^x$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
$$
f'(x) = f(x),
$$ avec f(0) = 1.
L'écriture avec les différentielles donne $\frac{df}{f} = dx$ et donc par intégration directe membre à membre :
$\ln(f(x)) = x + k$ avec $k$ constante d'intégration calculée avec $f(0) = 1$, soit $\ln(f(0)) = k$ et donc $k = \ln1 = 0$.
$\ln(f(x)) = x$ et donc en passant aux exponentielles : $f(x) = e^x$.
Cordialement.
Tu écris $\frac{df}{f}$ sans rien dire? Tu me surprends.
Quand on démontre « le » théorème de Cauchy-Lipschitz (méthode du point fixe de Picard) on utilise une suite, sous forme intégrale, qui approche la fonction (norme infinie).
Il me semble que l’on obtient pour $y’=y$ et $y(0)=1$, la suite des sommes partielles du DSE de $\exp$.
Bon, évidemment, dans la démonstration on parachute un peu quelques « idées » dont un terme qui fait penser étrangement à un terme général d’une série de Taylor.
J’ajoute les pincettes au cas où j’affabulerais.
Dès que je retrouve un papier et un crayon je tente de gribouiller quelque chose...
Mais tu divises par f, sans t’être assuré avant que f était non nulle ?
mais merci d'avoir répondu
Amathoué avait eu la même réaction que moi.
Side, effectivement, tu développes en série de Taylor autour de zéro,
(en vérifiant les conditions) et comme tout n, f(n)(0)=f(0)=1 ca donne l'exponentielle
et ensuite tu montres que le rayon de convergence est arbitrairement grand
merci encore à tous
donc la fonction g(x)=f(x))-exponentielle(x) est nulle au voisinage de 0
L'ensemble E = g-1{0} est bien sûr fermé en tant qu'image réciproque du fermé {0} par la fonction g qui est continue
et c'est un ensemble ouvert, car en un point u, si f(u)=exp(u) alors f(u) différent de 0, donc
par le même raisonnement qui a prouvé que f(x) = exponentielle(x) au voisinage de 0
on a au voisinage de u,, f(x) = C * exponentielle (x),
donc f(u)=C*exponentielle(u) donc exponentielle(u)= C*exponentielle(u) donc C=1
donc au voisinage de u, f(x)= exponentielle(x)
donc E étant à la fois fermé et ouvert et non vide car 0 appartient à E, E=R
Plein de manières de voir apparaître une exponentielle, qu'elle puisse être définie par la série entière, que $e$ soit la limite de la suite $((1+1/n)^n)_n$, etc.
Rappel : petit calcul heuristique absolument non rigoureux mais qui relie $e$ à la suite d'un point de vue intuitif. Pour $x$ petit, $e^x$ est à peu près égal à $1+x$. Donc pour $n$ grand $e^{1/n}$ c'est à peu près $1+1/n$ et la suite apparaît en notant que $e=(e^{1/n})^n$ avec une intuition grossièrement fausse (passage à une grande puissance de termes proches), mais qui aboutit à la bonne suite