Convergence faible dans $L^2$

KernelPan · November 2020

Bonjour,

il semble que le résultat suivant soit classique selon les forums anglais que je côtoie. On se place dans $L^2(\R)$ muni de sa structure d'espace Hilbertien. Voici le dit résultat :

"Soit $f \in L^2(\R)$ non identiquement nulle. Pour tout entier naturel $n$, on définit $f_n(x) = f(x+n)$ pour tout réel $x$. Alors : $$f_n \rightharpoonup 0,$$ mais cette convergence n'est pas forte."

J'ai montré ce résultat dans le cas où $f$ est de classe $C^{\infty}$ et à support compact, mais je n'arrive pas dans le cas général (je voulais utiliser la densité de ces fonctions dans $L^2$). J'ai cherché aussi de la lecture pour ce résultat mais je n'ai rien trouvé excepté un sujet sur stackexchange où l'on demande à ce que $f$ soit de norme $1$ (donc à normalisation près, le résultat que je tente de prouver semble vrai).

Avez-vous des indications ?

bd2017 · November 2020

Bonjour

À mon avis tu coupes l'intégrale en 2:

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x+n) g(x) dx = \int_{-\infty}^{A} f(x+n) g(x) dx +\int_{A}^{+\infty} f(x+n) g(x) dx$

La première intégrale tu peux la majorer par un $\epsilon$ pourvu que A soit choisi assez petit (utiliser CS) et la deuxième intégrale tu pourras aussi la majorer par $\epsilon$ epsilon A étant fixé et n choisi assez grand (idem utiliser CS mais faire le changement de variable $x\mapsto x+n$ auparavant )

side · November 2020

supp

noobey · November 2020

Hello!

Il existe p et q tels que $f_p = f1_{|x|<p}$ et la même pour $g_q$ vérifient $||f-f_p||_2\leq \epsilon$

Ensuite $fg = (f-f_p)g + f_p(g-g_q) + f_pg_q$
Les 2 premiers termes CS classique et le 3e est nul pour n assez grand

KernelPan · November 2020

Merci à tout le monde pour toutes ces réponses, je suis vraiment content.

Pour bd2017 et noobey, j'ai l'impression que c'est un peu la même chose : on essaye de trouver n assez grand et des intervalles sur lesquels les fonctions concentrent leur masse. Je vais tenter en premier lieu la démo de noobey (j'ai un petit penchant je dois l'avouer) car j'arrive à mieux visualiser les inégalités, je tente la vôtre par la suite bd2017.

Pour side : j'adore. Je n'ai jamais trop manipulé les transformations de Fourier et je recommence cette année en Analyse, c'est passionnant. Je comprends tous vos arguments, seulement "si $Ff, Fg \in L^2$" ce n'est pas une hypothèse trop exigeante lorsque l'on prend $f$ et $g$ quelconque dans $L^2$ ? C'est une question naïve, je ne suis pas connaisseur du sujet.