Développement asymptotique
Bonjour,
J'ai une suite de fonctions $f_n$ définie sur $\R$ et vérifiant : $$\forall x\in\R, \quad f_n(x)=\sin(nx)+O(\frac{1}{n}), $$ quand $n$ tend vers $\infty$.
Donc je peux écrire pour $n$ assez grand :
$|f_n(x)|\leq |f_n(x)-\sin(nx)|+|\sin(nx)|\leq Cst,$ ceci pour tout $x\in\R$.
Donc $f_n$ est uniformément bornée en $x$.
Ce raisonnement est-il correct ?
Merci.
J'ai une suite de fonctions $f_n$ définie sur $\R$ et vérifiant : $$\forall x\in\R, \quad f_n(x)=\sin(nx)+O(\frac{1}{n}), $$ quand $n$ tend vers $\infty$.
Donc je peux écrire pour $n$ assez grand :
$|f_n(x)|\leq |f_n(x)-\sin(nx)|+|\sin(nx)|\leq Cst,$ ceci pour tout $x\in\R$.
Donc $f_n$ est uniformément bornée en $x$.
Ce raisonnement est-il correct ?
Merci.
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Réponses
Depuis quelques années, une notation alternative s'est faite jour qui permet de préciser les constantes impliquées et de rendre ainsi toutes ces estimations explicites. Si $f,g$ sont deux fonctions définies sur $I = \left[a,+\infty \right[$, avec $g > 0$, la notation $f(x) = O^{\star} (g(x))$ signifie que, quel que soit $x \in I$, on a $\left| f(x) \right| \leqslant g(x)$.
Exemple. L'égalité suivante
$$\forall x \in \left[1,+\infty \right[ , \quad \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n} = \log x + \gamma + O^\star \left( \frac{6}{11x} \right)$$
où $\gamma \approx 0,577 \, 215 \, 664 \dotsc$, signifie que
$$\forall x \in \left[1,+\infty \right[ , \quad \left| \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n} - \log x - \gamma \right| \leqslant \frac{6}{11x}.$$
Bien noter que, dans cet exemple, $x$ est réel.