Développement asymptotique

supp

Le DA $(7)$ ne dépend pas uniquement de $n$, mais dépend aussi de $z$ et de $a$.

De rien.

Depuis quelques années, une notation alternative s'est faite jour qui permet de préciser les constantes impliquées et de rendre ainsi toutes ces estimations explicites. Si $f,g$ sont deux fonctions définies sur $I = \left[a,+\infty \right[$, avec $g > 0$, la notation $f(x) = O^{\star} (g(x))$ signifie que, quel que soit $x \in I$, on a $\left| f(x) \right| \leqslant g(x)$.

Exemple. L'égalité suivante
$$\forall x \in \left[1,+\infty \right[ , \quad \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n} = \log x + \gamma + O^\star \left( \frac{6}{11x} \right)$$
où $\gamma \approx 0,577 \, 215 \, 664 \dotsc$, signifie que
$$\forall x \in \left[1,+\infty \right[ , \quad \left| \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n} - \log x - \gamma \right| \leqslant \frac{6}{11x}.$$
Bien noter que, dans cet exemple, $x$ est réel.