Intégrale à paramètre

Voilà ce que donne Wolfy:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^(a-1)/(1+x),x=0,1

Bonjour, pour le simple plaisir de s'amuser un peu:

En utilisant: $\sum_{n\geq 0} (-x)^n = \frac{1}{1+x}$, on obtient $F(a) = \displaystyle \int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x} \mathrm dx = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \frac{1}{n+a}$, ce qui n'est pas très passionnant.
Ensuite, en posant $u = \frac{1}{x}$ dans l'intégrale définissant $F(a)$, on a :
$$
F(a) = \int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x} \mathrm \; = \; \int_1^{+\infty} \frac{u^{-a+1}}{1+\frac{1}{u}} \frac{\mathrm du}{u^2} \; = \; \int_1^{+\infty} \frac{u^{-a}}{1+u} \mathrm du .

$$ Donc, en revenant en sens contraire :
$$
\int_1^{+\infty} \frac{u^{a-1}}{1+u} \mathrm du \; = \; \int_0^1 \frac{x^{-a}}{1+x} \mathrm \; = \; F(1-a).

$$ Sachant que $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{u^{a-1}}{1+u} \mathrm du \; = \; \dfrac{\pi}{\sin ( \pi a)} $, on obtient l'équation fonctionnelle: $ F(a) + F(1-a) \; = \; \dfrac{\pi}{\sin ( \pi a)} $

Bonsoir, entre mathematica, wolfram alpha et wikipedia, on a:

En utilisant: $\sum_{n\geq 0} (-x)^n = \frac{1}{1+x}$, on obtient $F(a) = \displaystyle \int_0^1 \frac{x^{a-1}}{1+x} \mathrm dx = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \frac{1}{n+a}$, ce qui n'est pas très passionnant.

En fait, si ,dans la mesure où la série alternée à droite converge uniformément et on peut la dériver...

$$F'(a) \; = \; \sum_{n\geq 0} (-1)^{n+1 }\frac{1}{{(n+a)}^2}$$

Maintenant, la définition de la fonction Polygamma d'ordre $m$ est : $ \psi _m = \psi ^{(m)} $ avec $\psi (z) = \dfrac{\Gamma '(z)}{\Gamma (z) }$ où $\Gamma$ est la fonction gamma usuelle...

On connaît le développement de $\psi _1 (z) = \displaystyle \sum_{n\geq 0} \dfrac{1}{(n+z)^2}$.

Maintenant, on évalue $\psi _1 (\frac{a}{2})$ et $\psi _1 (\frac{1+a}{2})$ en se rappelant que $\psi _1 = \psi '$:

1) $\psi _1 (\frac{a}{2}) \; = \; \displaystyle \sum_{n\geq 0} \dfrac{1}{(n+\frac{a}{2})^2} \; = \; \displaystyle 4 \sum_{n\geq 0} \dfrac{1}{(2n+a)^2}$.

De même:

2) $\psi _1 (\frac{a+1}{2}) \; = \; \displaystyle \sum_{n\geq 0} \dfrac{1}{(n+\frac{a+1}{2})^2} \; = \; \displaystyle 4 \sum_{n\geq 0} \dfrac{1}{(2n+1+a)^2}$.

On voit donc que $ \frac{1}{4} \left( \psi _1 (\frac{a}{2}) - \psi _1 (\frac{a+1}{2}) \right) \; = \; \displaystyle \sum_{n\geq 0} {(-1)}^n \dfrac{1}{(n+a)^2} $.

Bilan: $\psi _1 (\frac{a}{2}) - \psi _1 (\frac{a+1}{2}) = -4F'(a).$

Il reste à déterminer (par exemple ) la limite en $+\infty$ de chaque fonction sachant qu'elles se prolongent analytiquement. On a $\psi (z) -\log (z) = - \dfrac{1}{2z} + O(z^2)$ à l'infini et la limite de $F$ se voit sur le développement en série ce qui doit résoudre le problème.

@jcp76: je te conseille la lecture de Whittaker et Watson: Modern analysis (date de 1900...) et de Macrobert: Functions of a complex variable ou bien Lebedev: Special functions . Il y a un gros passage sur gamma dans le Caratheodory: Theory of functions et le Freitag: Complex analysis ou bien dans les bouquins de Remmert en anglais ou en allemand; une référence introuvable (?) sur gamma: Campbell: les intégrales eulériennes chez Dunod et sinon sur le même sujet, le petit livre d'Artin: The gamma function dans les années 60.
Il y avait un spécialiste des fonctions spéciales (JJ) qui intervenait sur ce forum mais je ne sais pas si c'est encore le cas...

Sinon, la fonction dilogarithme $li_2(z) = \sum_{n \geq1 } \dfrac{z^n}{n^2}$ mentionnée plus haut est assez extraordinaire à étudier en particulier du fait de ses liens avec le nombre d'or.

Bonjour, on prouve:

1) Li$_2(-1) = -\frac{\pi ^2}{12}$.

2) Li$_2(\frac{1}{2}) = \frac{\pi ^2}{12} - \frac{1}{2} \log ^2 (\frac{1}{2})$.


Avec $\rho = \phi ^{-1} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$, on a:


3) Li$_2(\rho ) = \frac{\pi ^2}{10} - \log ^2 (\rho)$.

4) Li$_2(\rho ^2 ) = \frac{\pi ^2}{15} - \log ^2 (\rho)$.

5) (Coxeter) Li$_2( \rho ^6) \; = \; 4 $Li$_2( \rho ^3) + 3$Li$_2( \rho ^2) - 6 $Li$_2( \rho ) + 7 \frac{\pi ^ 2}{30} $

@jpc76: de quel livre de Lewin s'agit-il?

Tout dépend de ce que l'on suppose connu.

@FdP: ah oui on peut donc montrer cette égalité sans passer par les séries de Fourier ::o

Une autre (Apostol) : si $I = \int_0^1 \; \int_0^1 \; \dfrac{1}{1-xy} \mathrm dx \mathrm dy $, on peut évaluer cette intégrale de deux façons:

1) $I = \int_0^1 \; \int_0^1 \; \sum_{n\geq 0}(xy) ^n \mathrm dx \mathrm dy \; = \; \sum_{n\geq 0} \int_0^1 x^n \mathrm dx \; \int_0^1 \; y ^n \mathrm dy \; = \; \sum_{n\geq 0} \dfrac{1}{(n+1) ^2} \; = \; \zeta (2) $

2) par rotation de $-\pi/4$ du carré d'intégration: on effectue le changement: $ x = \frac{u-v}{\sqrt{2}}$ et $ y = \frac{u+v}{\sqrt{2}}$ soit $ 1 -xy = 2 - u^2 + v^2$.

Par symétrie: $I = 4 \displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \left( \int_0^u \dfrac{1}{ 2 - u^2 + v^2} \mathrm dv \right) \mathrm du \; + \; 4 \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{2}} \left( \int_0^{\sqrt{2}-u} \dfrac{1}{ 2 - u^2 + v^2} \mathrm dv \right) \mathrm du $;

On reconnaît Arctangente dans les intégrales intérieures:

$I = 4 \displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2-u^2}} \arctan \left( \dfrac{u}{\sqrt{2-u^2}} \right) \mathrm du \; + \; 4 \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2-u^2}} \arctan \left( \dfrac{\sqrt{2} - u}{\sqrt{2-u^2}} \right) \mathrm du $.

Maintenant, Apostol pose: dans la première intégrale $u = \sqrt{2} \sin \theta $ et dans la seconde $u = \sqrt{2} \cos 2\theta $ pour retrouver le résultat désiré...

Une autre (bien connue aussi mais plus simple): on a:
$$
\sum_{k=1}^{m} \cot ^2 \left( \dfrac{k\pi}{2m+1} \right) \;= \; \dfrac{2m(2m-1)}{6}.

$$ Ceci se prouve en développant $ \sin nx \; = \; \displaystyle \sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} (-1)^{k}\binom{n}{2k+1} \sin ^{2k+1} \cos ^{n-2k-1} $ que l'on divise par $\sin ^n x$ puis en considérant le cas $n = 2m+1$: on substitue $x \dfrac{r\pi}{2m+1}$ dans l'égalité obtenue pour $ 1 \leq r \leq m$ entier; les valeurs obtenues annulent le sinus; on a donc trouvé les racines d'un polynôme $P(X) = \displaystyle \sum_{0 \leq k\leq m} (-1)^{k} \binom{2m+1}{2k+1} X^{k} $; on regarde la somme des racines de ce polynôme pour avoir l'identité indiquée.

On prouve de même en utilisant $:\dfrac{1}{\sin ^2 x} = 1 + \cot ^2 x$ que :
$$
\sum_{k=1}^{m} \dfrac{1}{\sin ^2} \left( \dfrac{k\pi}{2m+1} \right) \;= \; \dfrac{2m(2m+2)}{6} .

$$ On part ensuite de $0 < \sin u < u < \tan y$ pour $ 0 < y < \pi / 2$ qui donne $ \cot ^2 y < \dfrac{1}{y^2} < \dfrac{1}{\sin ^2 y} $.
On applique ceci pour $y = \dfrac{k\pi}{2m+1} $ et on somme :
$$
\dfrac{2m(2m-1)}{6} < \displaystyle \sum_{k=0}^{ k = m} \left( \dfrac{k\pi}{2m+1} \right) ^2 <
\dfrac{2m(2m+2)}{6}

$$ On simplifie :
$$
\dfrac{2m(2m-1)\pi ^2}{6(2m+1)^2} < \displaystyle \sum_{k=0}^{ k = m} \dfrac{1}{k ^2 } <
\dfrac{2m(2m+2) \pi ^2}{6(2m+1)^2} .

$$ On obtient le résultat en passant à la limite.

EDIT: ces deux preuves viennent de proofs from the book de Aigner et Ziegler mais elles ont été données plusieurs fois sur ce forum.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,352432

@Chaurien: je vois que Herglotz est plus apprécié que je ne pensais.

Gilles Benson a écrit:

La fonction dilogarithme est venue sur ce fil comme un cheveu sur la soupe

Pour certaines valeurs de $a$ on est ramené à un calcul de polylogarithme pour évaluer $F(a)$, en reprenant tes notations ci-dessus, du fait qu'on ait aussi: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2137904,2138376#msg-2138376

@gilles benson : jolie la méthode de l'intégrale double (tu)

Une petite question me turlupine cependant : comment montre-t-on la "double intégrabilité" (on dit comme ça ?) de $f(x;y)=\frac{1}{1-xy}$ en $(x;y)=(1;1)$ ??

Gilles Benson: En tout cas cela permet de calculer $F\left(\frac{1}{2}\right)$ sans la formule des compléments.

@MathCoss: Ok merci ! pas besoin de passer par des primitives improbables alors...8-)

Ben, Apostol est crédité dans Proofs from the book de la paternité du calcul par intégrale double (avec une référence à un papier de 1983) que j'ai indiqué; pour la méthode de la cotangente, la responsabilité de Papadimitriou était semble-t'il un fait établi sur le forum mais il est dit dans la source citée plus haut (je ne l'avais pas lu, en effet) que cette méthode était connue dans les rangs des étudiants de Cambridge dans les années 60...sans plus de précision. je ne puis vérifier dans l'édition française que je ne possède pas (j'ai l'original en allemand). Il me paraît juste de rendre hommage aux Yaglom dont j'ai feuilleté les recueils d'exercices à l'époque. Je pourrais regarder (si je les retrouve) dans les livres auxquels je pense si cette méthode y figure.

Toutes ces techniques de calcul n'étaient pas nécessairement consignées dans des manuels ou bien, elles le furent tardivement par des gens qui avaient reçu ces techniques oralement (lors d'un cours dans une école, une université). Cela explique peut-être pourquoi elles rejaillissent de temps à autres (après avoir été oubliées pour certaines).

J'ai retrouvé un fil qui donne pas mal de choses sur le sujet. Je répète que ce « Ioannis Papadimitriou » est à bannir de nos mémoires et quant à Tom Apostol, son œuvre mathématique est assez importante par ailleurs et ne perd rien si on l'oublie aussi dans cette question.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1400462,1496652#msg-1496652
J'en profite pour vous communiquer le problème que j'ai fabriqué pour calculer $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2 }$ et aussi $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^4 }$ par la méthode Yaglom.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Side:
La première démonstration de l'égalité qui donne la valeur de la série des inverses des carrés non nuls a été donnée par Euler* au XVIIIème siècle. Celui-ci a produit deux preuves dont l'une, celle qu'on aime lui attribuer mais qui n'est pas une preuve rigoureuse, et une autre, moins connue, tout à fait valable aujourd'hui (preuve rappelée dans le PDF que j'ai mis en lien ci-dessus).

*: Euler a commencé par obtenir une bonne approximation de cette série qui converge très lentement.
Il a été capable à la vue de cette approximation de conjecturer que la série avait pour valeur $\dfrac{\pi^2}{6}$.

Bonjour, la vérité n'est pas un absolu puisqu'elle évolue au fil du temps...Dans Buch der beweise , deuxième édition, Aigner et Ziegler modifient totalement (sans le dire) leurs sources concernant ces deux questions (qui ne sont pas fondamentales du point de vue de la recherche mathématique): ils indiquent en préambule LeVeque pour la méthode de l'intégrale double (on oublie donc Apostol dont le vrai nom était Apostolopoulos) et indiquent bien Akiba et Isaak Yaglom (1954) à l'origine de la technique de la cotangente tout en citant d'autres articles dont celui de Papadimitriou; tout cela montre simplement que le monde mathématique n'est pas vertueux; je ne m'attendais pas en recopiant ces quelques lignes à soulever une tempête dans un verre d'eau; puis-je suggérer l'ouverture d'un sous forum dédié à $\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$?

Des formules attribuées à des auteurs relativement récents alors qu'elles étaient connues de plus longues dates (et démontrées) j'en ai au moins deux autres exemples*. (Je viens de me rendre compte que Wikipedia a besoin d'être mis à jour sur la source d'une de ces formules mais il faut que je me souvienne précisément de la source originale :-D )

*: Ce n'est pas moi qui les ait localisés. J'aurais bien aimé le faire.

PS:
En cherchant un article sur le forum j'ai retrouvé ce message:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,1843546