Intégrale à paramètre

Maintenant, l'affirmation de Gilles Benson selon laquelle « la vérité n'est pas un absolu puisqu'elle évolue au fil du temps » me semble problématique. Nous parlons de la façon dont Aigner et Ziegler, dans Proofs from the Book, traitent cette question des preuves de $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2 }=\frac {\pi^2}6$. Il faut se féliciter du succès de cet excellent ouvrage, qui a eu plusieurs éditions, en anglais (sa langue d'origine) mais aussi en français et en allemand. Et ces éditions changent, ce sont elles qui « évoluent au fil du temps ». Paru d'abord en 1998, nous en sommes à la quatrième édition que cite Gilles Benson, en allemand en 2015, et ensuite la sixième édition en anglais en 2018. Et là les attributions sont claires, même si malheureusement ils nous infligent encore ce funeste Papadimitriou.
Voici les pages en question de la sixième édition en anglais.
Bonne journée.
Fr. Ch.

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Totem, bonne question.
Pour éviter les gros théorèmes, prenons les sommes partielles : $\displaystyle S_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k^{2}}$ et $\displaystyle T_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{2}}$, de limites respectives $S$ et $T$.
La remarque importante c'est que dans la somme des inverses des carrés pairs on met en facteur $\frac 14$, ce qui conduit à : $S_{2n}-T_{2n}=\frac{1}{2}S_{n}$.
En passant à la limite quand $n \rightarrow + \infty$, il vient : $S=2T$. La connaissance de $T$ donne celle de $S$, comme la connaissance de $S$ donne celle de $T$. Et en prime si tu veux, tu peux avoir $\displaystyle \overset{+ \infty}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{(2k-1)^{2}}$.
L'avantage du calcul que je propose c'est de laisser Fubini, Tonelli et tutti quanti pour des situations où leur intervention est nécessaire, pour n'intégrer qu'une brave fonction définie et continue sur un brave compact. Et prendre le demi-carré simplifie le calcul, déjà assez pénible comme ça.

Bonne journée.
Fr. Ch.

@chaurien: je me suis arrêté aux secondes éditions parues avant 2005...mais les choses n'ont pas évolué entre temps ; dans la seconde édition en anglais, les références sont celles que j'ai indiquées initialement ; dans la seconde édition en allemand, on retrouve ce que tu indiques.

Pour en revenir à la convergence de l'intégrale double impropre, pendant la promenade de mon chien, j'ai fait quelques calculs :
$$
\int_0^1 \int_0^1 \dfrac{1}{1-xy} \mathrm dx \mathrm dy \; = \; \int_0^1 \dfrac{-\ln(1-y)}{y} \mathrm dy.

$$ En primitivisant $ \dfrac{1}{1-xy} $ en $x$ sans difficulté et :

1) on sait que l'intégrale $ \displaystyle \int_0^1 \ln(1-y)\mathrm dy$ converge en 1 comme le logarithme en 0 ;

2) $y \to \dfrac{\ln(1-y)}{y}$ se prolonge par continuité en 0.

Donc, nul n'est besoin de Fubini pour justifier l'existence de l'intégrale.

3) $ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{-\ln(1-y)}{y} \mathrm dy \; = \; \mathrm{Li}_2(1)$.

Le théorème de Fubini montre que l'intégrale itérée est aussi l'intégrale de $(x,y)\mapsto1/(1-xy)$ sur $[0,1]^2$.

Dans le genre « pourquoi se priver de pinaillages ? », on pourra consulter la deuxième épreuve du concours Mines-Ponts de 1990 (jointe) qui montre l'irrationalité de $\pi^2$ à partir de la valeur de cette intégrale. Du point de vue de l'intégration, les techniques sont assez sommaires – pas de convergence dominée, pas de convergence monotone, tout à la convergence uniforme.

@Math Coss: Pas de souci avec Fubini qui règle tout à fait ce problème et c'est satisfaisant de voir des utilisations pas trop ésotériques des grands théorèmes (sans pinailler) et merci pour le soutien précédemment.

@Totem: oui, c'était le problème de Capes d'un ami il y a 40 ans; il y a un bouquin de Paul Nahin à ce sujet: Chases and escapes chez Princeton.

Pour ta question à Chaurien, par soustraction, les termes impairs se simplifient car $(-1)^{2n+1 - 1} = 1$ et les termes pairs s'ajoutent.

@ Gilles Benson
J'aimerais retrouver ce sujet de CAPES sur les courbes de poursuite. Leur étude remonte à Bouguer et Maupertuis, Mémoires de mathématique et de physique de l'Académie Royale des Sciences, De l'Année MDCCXXXII.

Oui, je connais Robert Ferréol depuis quarante ans environ, et je connais son site. Je connais aussi le livre de Paul Nahin, que j'ai (pour une fois) acheté en version papier. Et j'ai aussi le tome des Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de 1732 comprenant les mémoires de Pierre Bouguer et de Pierre de Maupertuis sur les courbes de poursuite.
J'avais fabriqué un problème de colle sur le sujet, chapitre « équations différentielles », et j'aurais aimé voir ce qu'on a pu en faire pour le CAPES.
En cherchant sur les courbes, j'ai trouvé sur le problème de Bâle, l'épreuve du CAPES 2007. Faudra archiver tout ça.
Bien cordialement. Bonne après-midi.
Fr. Ch.

@Totem et Chaurien: ce n'est pas un "sujet" de capes; à l'époque, il fallait construire un problème qui était ensuite donné aux élèves de TC et tout cela faisait partie de l'évaluation du stagiaire après la réussite du concours; j'ai surement conservé une copie de ce texte mais il me faudrait la retrouver. Cet ami avait surement tapé son sujet sur son apple II et m'avait fourni le traçé sur sa machine de courbes définies implicitement que mon tuteur de l'époque n'avait pu obtenir lui-même.

bon, j'ai un peu cherché dans mes archives les plus accessibles mais je ne l'ai pas trouvé; de toute façon, il avait fait un truc basique et raisonnable (ce qui était normal au vu de l'enjeu); il n'y avait pas d'équation différentielle dans ce programme.

Bonjour, après vérification, la méthode de la cotangente figure bien dans la traduction de 1967 du livre des Yaglom: Challenging mathematical problems with elementary solutions chez Holden Day. Il s'agit des problèmes 142 a et b et 144 du chapitre 10.