Équation différentielle
Bonjour
Je n'arrive pas à trouver la "nature" de la solution générale de l'équation : $\quad y'' (t) + y(t) = \frac {1}{\cos(t)}.$
J'ai trouvé la solution homogène.
Si le second membre était $\cos(x)$ alors j'aurais cherché une équation de la formé $ a\cos(x) + b\sin(x)$ mais là je ne sais pas.
Quelqu'un a-t-il une idée s'il vous plaît ?
Bien cordialement.
Je n'arrive pas à trouver la "nature" de la solution générale de l'équation : $\quad y'' (t) + y(t) = \frac {1}{\cos(t)}.$
J'ai trouvé la solution homogène.
Si le second membre était $\cos(x)$ alors j'aurais cherché une équation de la formé $ a\cos(x) + b\sin(x)$ mais là je ne sais pas.
Quelqu'un a-t-il une idée s'il vous plaît ?
Bien cordialement.
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Réponses
Mais peut-être cette méthode a-t-elle disparu du programme de l'enseignement que reçoit le questionneur ?
C'est juste qu'on nous apprend que souvent on peut "deviner" la nature des solutions particulières et que ça va plus vite donc je me demandais si c'était le cas ici
Voici comment j'ai fait (j'ai essayé de détailler les calculs pour que cela soit clair) :
La solution homogène est : $\lambda \cos(t) + \mu \sin(t)$
Une base de l'équation sans second membre est :
$y_1(t) = \cos(t),\ y_2(t) = \sin(t)$
On cherche une solution $y$ sous la forme : $\begin{cases}
y(t) = \lambda_1(t) \cos(to + \lambda_2 (t) \sin(t) \\
y'(t) = - \lambda_1 (t) \sin(t) + \lambda_2(t) \cos(t)
\end{cases}$
(L'expression de $y'$ entraîne que $ \lambda_1' (t)\cos(t) + \lambda_2' (t) \sin(t) = 0$)
De plus $y''(t) = -\lambda_1 (t) \cos(t) -\lambda_1' (t)\sin(t) - \lambda_2 (t) \sin(t) + \lambda_2' (t) \cos(t)$
On introduit dans l'équation :
$\begin{cases}
-\lambda_1 (t) \cos(t) -\lambda_1' (t)\sin(t) - \lambda_2 (t) \sin(t) + \lambda_2' (t) \cos(t) + \lambda_1(t) \cos(to + \lambda_2 (t) \sin(t) = \frac{1}{\cos(t)} \\
\lambda_1' (t)\cos(t) + \lambda_2' (t) \sin(t) = 0
\end{cases}$
Donc $\begin{cases}
-\lambda_1' (t)\sin(t)+ \lambda_2' (t) \cos(t) = \frac{1}{\cos(t)} \\
-\lambda_1' (t) = \frac{\lambda_2' (t) \sin(t)}{\cos(t)}
\end{cases}$
Donc $\begin{cases}
\frac{\lambda_2' (t) \sin(t)}{\cos(t)}\sin(t)+ \lambda_2' (t) \cos(t) = \frac{1}{\cos(t)} \\
-\lambda_1' (t) = \frac{\lambda_2' (t) \sin(t)}{\cos(t)}
\end{cases}$
Donc $\begin{cases}
\lambda_2' (t)( \frac{ \sin^2(t)}{\cos(t)} +\cos(t)) = \frac{1}{\cos(t)} \\
-\lambda_1' (t) = \frac{\lambda_2' (t) \sin(t)}{\cos(t)}
\end{cases}$
Donc $\begin{cases}
\lambda_2' (t)\frac{ 1}{\cos(t)} = \frac{1}{\cos(t)} \\
-\lambda_1' (t) = \frac{\lambda_2' (t) \sin(t)}{\cos(t)}
\end{cases}$
Donc $\begin{cases}
\lambda_2' (t)= 1 \\
-\lambda_1' (t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}
\end{cases}$
On reporte dans $y$ :
$$y(t) = \frac{-\sin(t)}{\cos(t)} . \cos(t) + 1. \sin(t) = 0.
$$ Pouvez-vous me dire si vous voyez une erreur (j'ai refait les calculs plusieurs fois) ou si le raisonnement est faux et dans ce cas là m'indiquer comment faut-il procéder s'il vous plaît.
Je vous remercie par avance.
Bien cordialement.
Ton système, c'est : $ \lambda_1' (t) \cos t+ \lambda_2' (t) \sin t =0 $,
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\lambda_1' (t) \sin t+ \lambda_2' (t) \cos t = \frac{1}{\cos t} $,
aux inconnues $ \lambda_1' (t)$ et $ \lambda_2' (t)$.
Au lieu de t'em...bêter à le résoudre par substitution, résous-le par déterminants. Le déterminant de ce système, c'est le Wronskien des deux solutions de base de l'équation sans second membre, toujours non nul, et même ici constant égal à $1$, la situation la plus favorable. Etc.
Bon courage.
Fr. Ch.
Multiplie la seconde ligne du système de Chaurien par $\sin t$ et la deuxième par $\cos t$ et additionne.
Ce sont les mêmes calculs en laissant les déterminants sur le banc de touche.
e.v.
Pour répondre à Chaurien, je n'ai jamais encore fait avec les déterminants mais je prends note de votre raisonnement et je vais jeter un coup d'œil , je vous remercie ! (Et excusez-moi pour la faute !)
Pour répondre à ev, je note aussi et je vais essayer, je vous remercie
Enfin pour répondre à gilles benson, vous avez tout à fait raison ! Je le fais de ce pas, merci beaucoup !
$\lambda_1 = \ln( |\cos (t)|) + b,\ (b \in \R)$ et $ \lambda_2 = t + a,\ (a \in \R)$.
Donc une solution particulière est : $\ln( |\cos (x)|) \cos(t) +t \sin(t)$
Les solutions de l'équation sont de la forme : $\alpha \cos(t) + \beta \sin(t) + \ln( |\cos (t)|) \cos(t) +t \sin(t)$.
Merci à tous !
On pose par définition (dans $\mathbb R$ ou dans $\mathbb C$ ou dans tout autre corps commutatif) : $\left\vert
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d%
\end{array}%
\right\vert =ad-bc$.
Soit à résoudre le système aux inconnues $x,y$ :
$\begin{cases}
ax+by=c, \\
a'x+b'y=c'.
\end{cases}$
Le déterminant de ce système est : $D=\left\vert
\begin{array}{cc}
a & b \\
a^{\prime } & b^{\prime }%
\end{array}%
\right\vert =ab^{\prime }-ba^{\prime }$.
Si $D\neq 0$, alors le système est de Cramer, et : $x=\frac{\left\vert
\begin{array}{cc}
c & b \\
c^{\prime } & b^{\prime }%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert
\begin{array}{cc}
a & b \\
a^{\prime } & b^{\prime }%
\end{array}%
\right\vert },y=\frac{\left\vert
\begin{array}{cc}
a & c \\
a^{\prime } & c^{\prime }%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert
\begin{array}{cc}
a & b \\
a^{\prime } & b^{\prime }%
\end{array}%
\right\vert }$, dont la règle de formation est évidente.
On faisait ça en Troisième dans les années 1970-80 et ça passait très bien, même à Noisy-le-Sec (93).
Bonne soirée.
Fr. Ch.
NB. Merci Mathmart pour l'accolade que je ne savais pas faire : on apprend tous les jours sur ce forum.