Série et permutation de $\N$

Salut,
$$\forall \alpha >\frac12,\qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}\sigma(n)} \leqslant \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2\alpha}}}\times \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sigma(n)^2}} <\infty$$

C'est une somme à termes positifs, la convergence ne dépend donc pas de la permutation des termes. Si on les permute par $\sigma^{-1}$ on obtient la série de Riemann qui est bien convergente.

Ceci nous amène à la question suivante. Existe-t-il $\alpha > 0$ et $\sigma$ tels que la série diverge ?

La réponse est non en appliquant l'inégalité d'Hölder cette fois-ci (à un paramètre $p$ tel que $\alpha p>1$ et alors, on peut garantir que l'exposant dual de $p$ : $q$ vérifie $q>1$ si $\alpha\in]0,1[$).

Soit $a>0$ un réel, soient $p<q$ deux entier et $m<n$ deux autres entiers, on a
\[
\frac{1}{m^a p}+ \frac{1}{n ^a q } \geq \frac{1}{ m^a q }+\frac{1}{n^a p} .
\]
La série $\sum \frac{1}{n^a \sigma(n)}$ converge si $\sigma = \mathrm Id$ et à chaque fois qu'on inverse l'ordre de deux entiers $p<q$ à des position $m<n$ on diminue la somme de la série. On montre par récurrence sur $n$ que toute permutation de $\{1; \ldots; n\}$ peut s'écrire comme une composition de transpositions qui ne font que que diminuer la somme de la série. Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$, on note $\sigma_n$ une permutation finie de $\N^*$ telle que les images de $\sigma$ et $\sigma_n$ coïncident sur $\{1;\ldots; n\}$. On a alors
\[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^a \sigma(k)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^a \sigma_n(k)} \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^a \sigma_n(k)} \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{a+1}}
\]
donc la série est convergente et la valeur maximale de la somme est donnée par la permutation identité.

Ma démonstration est la même que celle de Corto qui l'a mieux détaillée.

On peut généraliser un peu : si $\sigma$ est une injection de $\N^*$ dans $\N^*$, si $\alpha>0$, $\beta>0$ et $\alpha+\beta>1$, alors la série $\sum\dfrac{1}{n^{\alpha}\sigma(n)^{\beta}}$ converge.

D'ailleurs, la remarque de Corto et Jandri s'obtient en utilisant le cas d'égalité de l'inégalité d'Hölder pour les paramètres $p=1+\frac{1}{\alpha}$ et $q=1+\alpha.$

@Corto : $\sigma_n$ n'est pas nécessairement une permutation de $\{1,\ldots,n\}$.

@Corto : Ok, on peut appliquer ton premier résultat parce qu'il existe une permutation $\tau_n$ de $\{1,\ldots,n\}$ telle que $$\sum_{k=1}^n\frac 1{k^{\alpha}\sigma_n(k)}\leq\sum_{k=1}^n\frac 1{k^{\alpha}\tau_n(k)}.$$

J'ai pensé à une démonstration plus courte pour la généralisation que j'ai proposée : si $\sigma$ est une injection de $\N^*$ dans $\N^*$, si $\alpha>0$, $\beta>0$ et $\alpha+\beta>1$, alors la série $\sum\dfrac{1}{n^{\alpha}\sigma(n)^{\beta}}$ converge.
Il suffit de séparer en deux sommes : la première pour $\sigma(n)\geq n$ est majorée par $\sum\dfrac{1}{n^{\alpha+\beta}}$, la seconde pour $\sigma(n)< n$ est majorée par $\sum\dfrac{1}{\sigma(n)^{\alpha+\beta}}$ qui converge aussi puisque les sommes partielles sont majorées par $\displaystyle\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n^{\alpha+\beta}}$.

Cette démonstration s'applique aussi à la généralisation de Corto pour la convergence de $\sum \dfrac{1}{\sigma(n) f(n)}$ :
pour $\sigma(n)\geq n$ on majore par $\sum\dfrac{1}{n f(n)}$
pour $\sigma(n)< n$ on majore par $\sum \dfrac{1}{\sigma(n) f(\sigma(n))}$ (puisque $f$ est croissante) qui converge puisque $\sigma$ est une injection de $\N^*$ dans $\N^*$.

On peut d'ailleurs généraliser un peu plus avec $f$ et $g$ croissantes de $[1,+\infty[$ dans $[1,+\infty[$, telles que la série $\sum \dfrac1{f(n)g(n)}$ converge :
pour $\sigma$ injection de $\N^*$ dans $\N^*$, la série $\sum \dfrac1{f(n)g(\sigma(n))}$ converge aussi.

Bien vu Jandri ! "Les idées naturelles sont celles qui viennent en dernier" d'après Hadamard.

Gai requin : Je ne comprend pas, n'ai pas l'impression de faire ce que tu dis dans ma démonstration.

Merci Corto.

Bon, j'ai un autre problème avec ta preuve. ;-)
A un moment donné, tu composes des transpositions.
En appliquant la première transposition, on fait effectivement baisser la somme.
Mais en appliquant la deuxième, ce n'est plus aussi sûr parce que son support n'est pas forcément disjoint de celui de la première.
Par exemple, avec $\alpha=1$ et $\sigma=(2\;4\;3)=(2\;3)(2\;4)$, la somme diminue quand on applique $(2\;4)$ puis elle augmente quand on applique $(2\;3)$.

supp

@side : je parlais de ce message de jandri, pas de son premier post.

Gai requin : Oui, on peut écrire toute permutation comme produit de transpositions mais il faut faire un peu plus attention si on veut être sûr que chaque transposition diminue effectivement la somme. Dans l'exemple que tu proposes l'écriture $(243) = (23)(24) $ ne convient pas mais l'écriture $(243) = (34)(23)$ convient. Par récurrence sur $n$ on montre sans soucis que toute permutation de $\{1;\ldots;n\}$ peut s'écrire comme produit de transpositions qui ne font que baisser la somme.

Side : ah, je ne connaissais pas l'inégalité de réarrangement avant que tu en parles.