$C([a,b];\mathbb F)$ norme $1$ pas complet

Bonjour Corto, si j'essaie de suivre votre idée avec votre fonction, la suite est de Cauchy mais comment montre-t-on qu'elle ne converge pas en norme 1? Doit-on regarder si elle converge en norme 1 vers sa limite ponctuelle? Et si c'est le cas, pourquoi? La convergence en norme 1 n'implique pas la convergence ponctuelle...

side: $L^1$ désigne ici les fonctions bornées pour la norme, quotienté par les fonctions nulles p.p. si ca répond à votre question.

Poirot: Je ne comprends pas votre approche. $\mathcal C^0([-1, 1], \mathbb R)$ doit être fermée dans $L^1$(?), or on trouve une suite de fonctions continues qui ne converge pas dans $\mathcal C^0([-1, 1], \mathbb R)$, donc contradiction???

side: J'ai dit bornées pour la norme (en d'autres termes juste intégrables)

Je vous soumets un exemple similaire à celui de Corto mais plus simple pour moi (qui est dessiné dans mon cours).
Soit (faire un dessin) $$f_n : [0;1] \to \R,\quad f_n(t)=\begin{cases}
1 &t\leq \frac{1}{2} \\
1-n(t-\frac{1}{2}) &\frac{1}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{n} \\
0 & \frac{1}{2}+\frac{1}{n}\leq t
\end{cases}
$$ Un calcul montre que elle est de Cauchy pour la norme 1.
Maintenant je souhaite montrer qu'elle diverge en norme 1 (la partie floue pour moi).
Si elle converge vers une fonction $f$, on regarde alors l'intégrale $\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}|f_n(t)-f(t)|\;dt$.
Alors $f$ doit valoir $1$ entre $0$ et $\frac{1}{2}$ sinon entre $0$ et $\frac{1}{2}$ l'intégrale serait non nulle ($f_n(t)=1,\ \forall 0\leq t\leq \frac{1}{2}$).
De plus, $f$ doit valoir $0$ entre $\frac{1}{2}$ et $1$ car par le même raisonnement, il existe $n$ t.q l'intégrale deviendrait non nulle.
En particulier, $f$ a la forme $f(t)= \begin{cases}
1 & 0\leq t \leq \frac{1}{2}\\
0 & \frac{1}{2}<t\leq 1
\end{cases} $.
On montre facilement que l'intégrale $\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}|f_n(t)-f(t)|\;dt$ diverge alors.

Qu'en pensez-vous ?

Bonjour Corto, désolé du retard. Je m'inspire de votre argument pour la continuité.

Soit par l'absurde $f$ la limite continue de notre suite $f_n$.

Pour $\epsilon=\frac{1}{10},\exists \delta>0$ tel que $\forall t\in [\frac{1}{2}-\delta,\frac{1}{2}+\delta]$ on a $|f(t)-f(\frac{1}{2})|<\frac{1}{10}$ (1).

On a $\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}|f(t)-f_n(t)|=0\implies \lim_{n\to \infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}|f(t)-f_n(t)|=0$

Aussi, $\int_{0}^{\frac{1}{2}}|f(t)-f_n(t)|=\int_{0}^{\frac{1}{2}}|f(t)-1|\implies f(t)=1\;\forall t\in [0,\frac{1}{2}]$

En particulier $f(\frac{1}{2})=1$ donc par (1) on a $1-\frac{1}{10}<f(t_\delta)<1+\frac{1}{10}$ pour tout $t_\delta$ dans le $\delta$-intervalle.

En particulier, c'est vrai pour tout $t_\delta\in ]\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\delta]$

Aussi, il existe un $N$ tel que $f_N(t_\delta)=0$ pour un $t_\delta\in ]\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\delta]$. En fait, il y a même un sous-intervalle $[t_{1_\delta},t_{2_\delta}]\subset ]\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\delta]$ tel que $f_N(t)=0\ \forall t\in [t_{1_\delta},t_{2_\delta}]$

En particulier, $\int_{t_{1_\delta}}^{t_{2_\delta}}|f(t)-f_N(t)|dt=\int_{t_{1_\delta}}^{t_{2_\delta}}|f(t)|dt>\int_{t_{1_\delta}}^{t_{2_\delta}}1-\frac{1}{10}dt\neq 0$ d'où contradiction.

Ici je parle par rapport à la fonction que j'ai définie plus haut $$f_n : [0;1] \to \R,\quad f_n(t)=\begin{cases}

1 &t\leq \frac{1}{2} \\

1-n(t-\frac{1}{2}) &\frac{1}{2}\leq t\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{n} \\

0 & \frac{1}{2}+\frac{1}{n}\leq t

\end{cases}$$

Merci :-)