Convergence simple

marc-007
marc-007
dans Analyse
Bonjour à tous,
Voici mon exercice.

On considère la suite de fonctions (fn: IR->IR, n>=1) définie par fn(x)= cos(n²x)/n.
La suite des dérivées (f'n) converge-t-elle simplement sur IR ?

Je trouve f'n(x)= -nsin(n²x).
Pour x fixé, sin(n²x) n'a pas de limite en +inf, et est bornée, lim (-n) = -inf qd n->+inf.
Je pense que suite (f'n) n'a pas de limite, et donc ne converge pas simplement sur IR, mais j'aimerais le démontrer rigoureusement, comment faire ? Merci pour votre aide.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Prenons $x = \dfrac{\pi}{2}$, alors $|f'_n(x)|= n$ pour $n$ impair, et donc ne converge pas, donc $f'_n(x)$ ne converge pas, donc $f'_n$ ne converge pas simplement.
  • marc-007
    marc-007
    Oui, en prenant cette valeur particulière de x, c'est parfait. Merci beaucoup.
  • nimajneb
    nimajneb
    @Chalk ta formule $\left |f_n'\left ( \frac \pi 2 \right ) \right |=n$ est fausse pour $n=2$
  • Amathoué
    Amathoué
    nimajneb, cela ne change rien au raisonnement de Chalk. D'ailleurs, je pense que sa rédaction est volontairement abrégée.
  • Chalk
    Chalk
    Tout à fait, j'ai fait une erreur, mais l'idée reste la même. J'ai corrigé normalement.
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