Forme intégrale de la fonction gamma

En faisant les calculs dans l'autre sens pardi.

Je ne sais pas trop comment tu veux faire apparaître une intégrale de nulle part à partir d'une expression de limite (hormis avec des sommes de Riemann, mais ça n'y ressemble pas du tout ici).

Bonjour, voila ce que fait Caratheodory : paragraphe 271 (et suivants) de son livre sur la théorie des fonctions. Il écrit pour deux entiers naturels $s$ et $n$ :
$$
(s-1)! \; = \; \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s+1} \cdots \frac{n}{s+n} n! \left[ \frac{n+1}{n}\cdot \frac{n+2}{n}\cdots \frac{n+s}{n}\right].

$$ Il passe à la limite suivant $n$ :
$$

(s-1)! \; = \; \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^s n!}{\prod_{k=1 }^{ k = n}(k + s) }.

$$ En prenant $s$ comme variable complexe, il définit une fonction méromorphe qu'il note $\Gamma (s)$.
Il introduit $\Gamma_n(z) \; =\; \displaystyle \dfrac{n^s .n!}{ \displaystyle\prod_{k=1 }^{ k = n}(k + s) } \; = \displaystyle \; e^{z \left( \log n - H_n\right)}\cdot\frac{1}{z}\cdot \prod_{k=1 }^{ k = n}\frac{e^{ \frac{z}{k}}}{ 1+ \frac{z}{k}} $
qui converge vers le produit infini $ \frac{1}{z} . e^{- \gamma z} \displaystyle \prod_{k=1 }^{ +\infty}\frac{e^{ \frac{z}{k}}}{ 1+ \frac{z}{k}} $. Le membre de gauche converge vers $\Gamma (z)$. Le produit infini converge sur les compacts au moins sur $\Omega = $ $ \left\{ z \in \mathbb{C} ; \; \Re (z ) > 0 \right\} $ (développer le logarithme).

C'est ainsi que procède le livre des Queffelec. Pour le lien avec l'intégrale, ils évaluent :
$$
\gamma _n(z) = \int_0^n t^{z-1} \left( 1 - t/n \right)^n \mathrm dt =n^z \int_0^1 u^{z-1} \left( 1 - u \right)^n \mathrm du .

$$ Ensuite, la convergence simple de $f_n(t) = t^{z-1} \left( 1 - t/n \right)^n . \chi _{[0; \; n]} $ vers $ t^{z-1} e^{-t}$ sur $[0;\; +\infty [$ et la convergence dominée de $ \gamma _n(z) $ vers la forme intégrale de $\Gamma (z)$ .

Finalement, à partir de $ I _n(z) = \int_0^1 u^{z-1} \left( 1 - u \right)^n \mathrm du $, par intégration par parties, on obtient $ I _n(z) = \displaystyle \dfrac{n!}{\prod_{k=1 }^{ k = n}(k + z) } $ et en passant à la limite suivant $n$, la boucle est bouclée. Mais tout cela ne fait que paraphraser ce qui a été écrit plus haut.

Bonjour, je n'ai pas écrit qu'elle était due aux Queffelec mais qu'elle se trouvait dans leur livre (idem pour Caratheodory...).
Freitag donne la formule $

\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^s n!}{\prod_{k=1 }^{ k = n}(k + s) }.

$
comme venant de Gauss: 1811-1812.

Pour une approche contenant l'histoire des progrès sur la fonction gamma, Remmert et Schumacher: Funktionentheorie 2 chez Springer est une bonne référence. Remmert indique que ce produit était connu d'Euler en 1776 (ce qu'ignorait Gauss).
La forme intégrale de la fonction gamma est relevée dans Legendre en 1811