Distributions simples
Bonjour
Je tente d'apprendre ce que sont les distributions. Je me base sur les définitions ci-dessous.
J'aimerais montrer par exemple que $T:=\frac{1}{a} (\delta_a - 3 \delta_{-a})$ est une distribution et trouver son ordre.
Ce que je fais.
Soit $\phi \in S(\mathbb{R})$.
$ |<T,\phi>|=\frac{1}{a}|\phi(a)-3\phi(-a)| \leq \frac{4}{a} ||\phi||_{0,S} $
J'en déduis que $T$ est une distribution d'ordre $0$.
J'ai l'impression de manquer quelque chose, pourriez-vous me donner votre avis ?
Merci d'avance.
Brigate.
PS : question subsidiaire. Une fonction est-elle toujours une distribution ?
Je tente d'apprendre ce que sont les distributions. Je me base sur les définitions ci-dessous.
J'aimerais montrer par exemple que $T:=\frac{1}{a} (\delta_a - 3 \delta_{-a})$ est une distribution et trouver son ordre.
Ce que je fais.
Soit $\phi \in S(\mathbb{R})$.
$ |<T,\phi>|=\frac{1}{a}|\phi(a)-3\phi(-a)| \leq \frac{4}{a} ||\phi||_{0,S} $
J'en déduis que $T$ est une distribution d'ordre $0$.
J'ai l'impression de manquer quelque chose, pourriez-vous me donner votre avis ?
Merci d'avance.
Brigate.
PS : question subsidiaire. Une fonction est-elle toujours une distribution ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour la question subsidiaire : en général, quand on dit qu'une fonction est une distribution, on pense en fait à la distribution associée $T_f$ définie par $$\langle T_f, \varphi \rangle = \int_{\mathbb R} f(x)\varphi(x) \mathrm dx$$
pour que cette chose ait un sens, il faut tout de même faire quelques hypothèses sur $f$.
Par exemple, si $f$ est $L^p$, ou s'il existe un polynôme $P$ tel que $|f| \le |P|$, alors $f$ est bien une distribution. En revanche, on peut montrer que la fonction exponentielle ne définit pas une distribution tempérée.
C'est plus clair maintenant.
Ensuite on réagit en rappelant ce qu’est une distribution régulière (car tu te restreins à cela benjamin), puis on parle aussi de distributions tempérées?
:-S
Amathoué : C'est vrai que ca peut paraître perturbant mais ce fil a été crée (par moi) dans le but de poser des questions très probablement idiotes sur un sujet que je découvre. J'en suis encore a me noyer dans les différentes définitions et propriétés. Aussi, me mettre le nez sur la partie pertinente du cours comme l'a fait nimajneb m'aide beaucoup. La remarque de Poirot est aussi tout a fait pertinente : je n'avais pas conscience de la distinction. Finalement, la confirmation que ce que j'avais fait est juste est rassurante car j'en doutais fortement. Ça me permet de continuer sur des bases saines.
Bonne journée.