Convergence uniforme... ou pas ?

il me semble que l'on peut majorer $R_N$ par $\ \displaystyle \frac{1}{\ln{N}} \frac{x e^{-Nx}}{e^x-1}\leq \frac{1}{\ln{N}} \frac{x }{e^x-1},\ $ donc par $\ \dfrac {1}{\ln(N)}$.

Bonjour,
$\forall N\in\Bbb N, \forall x\in {]0,1]},$ $$\begin{eqnarray*}
\sum_{n\geqslant N}f_n(x) &\leqslant& \frac{x}{\ln(N)} \sum_{n\geqslant N}e^{-nx} \\
&=& \frac{x}{\ln(N)} \frac{e^{-Nx}}{1-e^{-x}} \\
&\leqslant& \frac{x}{\ln(N)} \frac{e^{-Nx}}{x-\frac12x^2} \\
&\leqslant& \frac1{\ln(N)(1-\frac{x}2)} \\
&\leqslant& \frac2{\ln(N)}
\end{eqnarray*}$$ car $e^{-x}\leqslant 1-x+\frac12 x^2$.
Donc $\sum f_n$ converge uniformément sur $]0,1]$, donc aussi sur $\Bbb R_+$ d'après ce que tu dis.

supp