Bonjour, je bute sur la question 5)ii). J'arrive à montrer que le module d'une telle fonction est constant mais pas que la fonction elle même est constante. Est-ce que quelqu'un aurait un piste ? Merci d'avance pour vos réponses.
C'est deja fait, cela me permet de dire que le groupe des périodes de la fonction est dense dans R mais la fonction n'est pas continue donc on ne peut pas conclure d'autant plus que le groupe des périodes est de mesure nulle.
En effet, j’avais implicitement supposé que $f$ était continue...
Je n’ai pas la solution, mais le résultat vient nécessairement du fait que $f$ est une fonction mesurable. J’ai trouvé l’exercice dans une feuille de TD : il n’y a pas la solution, mais il est indiqué de considérer les ensembles $E_a=\{f>a\}$ pour $a\in\R$.
MrJ : Suppose que l'un de tes $E_a$ est de mesure strictement positive, pour tout $\varepsilon >0$ il existe un intervalle $I$ tel que $\lambda(E_a \cap I) > (1-\varepsilon)\lambda(I)$ (cela se démontre avec la définition de $\lambda$ par les mesures extérieures). L'ensemble $E_a$ est invariant par les translations de $\alpha$ donc comme tu l'as dis par un ensemble dense de translations. En combinant ces deux éléments on arrive à montrer que $\lambda(E_a)$ est aussi proche de $2\pi$ que l'on veut.
Autrement dit les ensembles $E_a$ sont soit négligeables soit de mesure pleine, la fonction est donc constante.
C'est le même genre de truc qu'on utilise pour montrer que la translation par $\alpha \notin \Q$ dans $\R/\Z$ donne un système dynamique ergodique.
Schlurte : il doit y avoir d'autres façon de s'en sortir, par exemple en raisonnant par densité des fonctions continues ou en utilisant le théorème de Lusin.
Quand j’y pense, on en déduit qu’une fonction qui n’est pas constante presque partout et dont l’espace des périodes est dense dans $\R$ n’est pas mesurable.
Il me semble que c’est assez proche de la construction classique d’une partie de $\R$ non mesurable.
Réponses
Je n’ai pas la solution, mais le résultat vient nécessairement du fait que $f$ est une fonction mesurable. J’ai trouvé l’exercice dans une feuille de TD : il n’y a pas la solution, mais il est indiqué de considérer les ensembles $E_a=\{f>a\}$ pour $a\in\R$.
Autrement dit les ensembles $E_a$ sont soit négligeables soit de mesure pleine, la fonction est donc constante.
C'est le même genre de truc qu'on utilise pour montrer que la translation par $\alpha \notin \Q$ dans $\R/\Z$ donne un système dynamique ergodique.
@side Merci pour ta réponse mais je ne vois pas comment ca peut résoudre mon problème. J'ai loupé quelque chose ?
Il me semble que c’est assez proche de la construction classique d’une partie de $\R$ non mesurable.