Démonstration sur la nature d'une série

Bonjour, il était possible de calculer $\dfrac{u_{n+1} }{u_n}$ pour $u_n = \dfrac{n!}{n^n}$ pour se faire une idée de ce qu'on pouvait obtenir par récurrence. Je te laisse faire le calcul pour que tu t'en rendes compte.

$\dfrac{u_{n+1} }{u_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}{ \dfrac{n^n}{n!}} \; = \; \dfrac{n+1}{(n+1) \times \left(1+ \dfrac{1}{n} \right)^n } \; = \; \left(1+ \dfrac{1}{n} \right)^ {-n} $.

On obtient ceci en écrivant $(n+1)! = (n+1) \times n!$ et $ \dfrac{(n+1)^{n}}{ n^n} = \left(\dfrac{n+1}{n} \right)^n = \left(1+ \dfrac{1}{n} \right)^n $.

Ce sont des transformations simples importantes à mémoriser.

Tu as dans ton cours un theoreme qui dit que si $u_n$ et $v_n$ sont des suites positives telles que $u_n/v_n\to 1$ alors les series $ \sum u_n$ et $ \sum v_n$ convergent ou divergent en meme temps. Montre que ceci est applicable a l'$u_n$ de ton exercice et a $v_n=n!/n^n.$