Développement limité de $(1+x)^x$

dedekind93 · December 2020

Bonjour à tous.
En calculant le développement limité de $(1+x)^x$ quand $x$ tend vers 0 (après mise sous forme exponentielle bien sûr) à l'ordre 3, je me suis aperçu que j'obtenais le même résultat que si j'avais appliqué (indûment !) la formule du développement limité de $(1+x)^\alpha$ en prenant $\alpha=x$. Ceci a l'air de fonctionner à tout ordre... mais est-ce exact ? Comment le montrer ? Peut-être est-ce pour une raison très simple mais je ne la vois pas ! Et pour quelles $u$ les développements limités de $(1+x)^{u(x)}$ s'obtiendraient-ils de la même façon ?
Merci de vos idées !

zephir · December 2020

Bonsoir,
$u(x)=x(1+v(x))$ avec $\forall n\in \N,\ v(x)=o(x^n)$

marsup · December 2020

La formule du binôme de Newton dit que pour $a\in\C$, on a pour $|x| < 1$
$$(1+x)^a = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{a}{n} \cdot x^n,$$ avec $\binom{a}{n} = \frac{1}{n!} a (a-1) \dots (a-n+1)$.
C'est une égalité, avec une série entière. Le développement limité est obtenu en tronquant.

Ça fonctionne donc aussi quand on fait $a = x$,