Partie entière

n=1000 ?

e.v.

En tout cas ce coup-ci, ça semble vrai

>>> [k for k in range(100000) if not int(k**0.5+(k+1)**0.5+(k+2)**0.5+(k+3)**0.5)==int((16*k+20)**0.5)]
[]

Ce que l'on veut montrer est pareil que $E(\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})=E(\sqrt{16n+4})$ pour $n \geq 1$.

J'admet provisoirement l'inégalité suivante, valable pour $n \geq 2$,
$$
\sqrt{16n+4} \leq \sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \leq \sqrt{16n+8}.
$$
En posant $k=E(\sqrt{16n+4})$, on a $k^2 \leq 16n+4 <(k+1)^2$, comme un carré modulo 16 est congru à 0, 1, 4 ou 9, on a donc $ 16n+8<(k+1)^2 $, d'où
$$ k \leq \sqrt{16n+4} \leq \sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \leq \sqrt{16n+8}< k+1$$
et la conclusion pour $n\geq 2$ (pour $n=1$, on vérifie à la main).

Reste à montrer les deux inégalités ci-dessus. Grâce à la concavité de la racine carrée, pour $n \geq 1$,
$$\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2} \leq 4 \sqrt{\frac{n-1+n+n+1+n+2}{4}}=\sqrt{16n+8}.$$
Pour l'autre, ce que j'ai trouvé est moche. Par l'IAG, pour $n \geq 1$,
$$ \sqrt[4]{\sqrt{n-1}\sqrt{n}\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}\leq \frac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}{4}$$
ou encore
$$ \sqrt[8]{(n-1)n(n+1)(n+2)}\leq \frac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}{4}.$$
Pour conclure il suffit donc de montrer que $\sqrt{16n+4} \leq 4 \sqrt[8]{(n-1)n(n+1)(n+2)}$, ce qui équivaut à
$$
\left(n+\frac{1}{4}\right)^4 \leq (n-1)n(n+1)(n+2)
$$
et ceci est vérifié pour $n \geq 3$ par une étude de fonction du troisième degré peu agréable (on traite à la main $n=2$).

Peut-être qu'un habitué des inégalités comme YvesM aura une idée plus brillante pour cette seconde partie.

Gilles.

NB (intéressant pour Python, pas pour le problème...) : pour le test numérique on peut utiliser "all".

all(int(k**0.5+(k+1)**0.5+(k+2)**0.5+(k+3)**0.5)==int((16*k+20)**0.5) for k in range(100000))
True

Merci LP !

Ignotus : $E(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})=E(\sqrt{9n+8})$ pour t'entraîner. :-D