Théorème des résidus, bord d'un triangle

fifi21 · December 2020

Bonjour à toutes et tous
Je bloque un peu sur un exercice de fonctions holomorphes.

Je dois appliquer le théorème des résidus afin de calculer l'intégrale de 0 à $+\infty$ d'une certaine fonction $f$. Le lacet est le suivant : soit $\gamma(r)$ le bord du triangle du plan complexe d'intérieur $\lbrace z \in \mathbb{C} : \vert\mathcal{Im}(z) \vert < \mathcal{Re}(z) < r \rbrace$ pour $r>1$. Il ne me reste donc plus qu'à calculer la limite quand $r$ tend vers $+\infty$ de $\int_{\gamma(r)} f$, en le décomposant en 3 intégrales.
Le problème est que je n'arrive pas à me représenter ce lacet et je ne peux donc pas trouver de paramétrisations afin de calculer la limite des différentes intégrales quand $r$ tend vers $+\infty$.
Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider sur comment paramétrer chacune des 3 intégrales ?

Je vous remercie par avance pour les indications que vous pourrez m'apporter.
Bonne fin de journée.

Poirot · December 2020

Si on te dit qu'il s'agit de l'ensemble $\{(x, y) \in \mathbb R^2 \mid |y| < x < r\}$, arriverais-tu à faire un dessin ?

fifi21 · December 2020

Avec cela oui, et je suis bien conscient que c'est la même chose que ce que l'on me demande. Mais en fait, je me suis mal exprimé précédemment, je réussis à faire le dessin mais c'est la paramétrisation de chaque coté du triangle qui me pose problème. En temps normal j'ai plutôt à faire à des demi-cercles ou des demi-couronnes, voire même des rectangles et cela ne me pose aucun problème, mais là le triangle je ne sais pas ...
Merci