Développement en série entière

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{e^{x}-1} ,&\text{si } x\neq0\\ 1, &\text{si } x=0\end{cases} $

Pour $x < 0$, tu as $e^x < 1$ et tu reconnais du $\dfrac{1}{1-z}$ avec $|z| < 1$.
Pour $x > 0$, tu as $\dfrac{x}{e^x-1} = \dfrac{x}{e^x}\dfrac{1}{1-e^{-x}}$ et rebelote !
Il n'y a plus qu'à recoller les morceaux.

Appuyons john_john : tout dépend des théorèmes que l'on suppose connus. Si l'on se borne au programme actuel (2020) de MP-PC-PSI, on n'a pas le théorème qui dit que si une fonction $f$ admet un DSE en $0$ avec rayon de convergence $>0$ et si $f(0) \neq 0$, alors la fonction $g=\frac 1f$ admet un DSE en $0$ avec rayon de convergence $>0$. Il faut donc redémontrer ce théorème, au moins dans le cas particulier envisagé ici. Pour cette fonction, les coefficients du DSE sont les coefficients du développement limité. Il est bien connu qu'on trouve les nombres de Bernoulli.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Avec le programme actuel dont tu parles, Chaurien, je sais démontrer que $f$ est développable en série entière et que son rayon est compris entre $\frac{6}{5}$ et ${2\pi}$... mais je ne vois pas comment montrer que le rayon vaut bien $2\pi$.

On peut trouver des écritures avec les nombres de Bernoulli, mais trouver le comportement asymptotique de ces nombres n'est franchement pas simple, donc cela n'aide pas beaucoup à trouver le rayon.

supp

supp

Une autre remarque. Je précise les notations car elles peuvent varier de-ci de-là :
Les nombres de Bernoulli $b_n$ sont définis par : $\displaystyle \frac{z}{e^{z}-1}=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{b_{n}}{n!}z^{n}$.
Les premières valeurs de ces nombres apparaissent bien facétieuses :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11&12 &13&14&15&16\\
\hline
b_n & 1 & -1/2 & 1/6 & 0 & -1/30 & 0 & 1/42 & 0 &-1/30 & 0 & 5/66&0&-691/2730 &0&7/6&0&-3617/510 \\
\hline
\end{array} On peut quand même connaître leur comportement asymptotique en remarquant que la fonction Zêta de Riemann s'exprime au moyen des nombres de Bernoulli, pour $q\in \mathbb N^*$ : $\displaystyle \zeta (2q)=\overset{+\infty }{\underset{n=1}{\sum }}\frac{1}{n^{2q}}=(-1)^{q-1}2^{2q-1}\pi ^{2q}\frac{b_{2q}}{(2q)!}$.
Ceci se démontrait en Maths Spé avant 2013, avec les séries de Fourier, qui figuraient alors au programme. Mais elles en ont disparu :-(.
Par ailleurs, il est facile de prouver que $\lim_{s\rightarrow \infty }\zeta (s)=1$.
On en déduit immédiatement un équivalent de $b_{2q}$ quand $q \rightarrow + \infty$.
Bonne journée de Saint-Sylvestre 2020.
Fr. Ch.

NB. J'ai inséré un tableau dans ce message, comme Rondo me l'a appris dans le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2135952,2138592#msg-2138592, et je le remercie encore.