Rayon de convergence
Réponses
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Mais qu’est-ce que t’ont fait les maths à toi aussi ?
Pourquoi les détestes-tu autant ?
Pourquoi les massacres-tu avec autant de hargne ?
Pourquoi les méprises-tu au point de n’avoir jamais peur du ridicule en venant sur un forum de maths pour poser tes bêtises ?
C’est un droit, cela dit.
Édit : c’était pour le message d’avant.
Pour le message sur l’explicitation de $u=O(v)$, alors, « mêmes limites (si elles existent) » ? -
Je ne comprends pas ce que tu racontes Dom.
Tu ne m'as pas répondu à ma question,
Si $ (u_n)_n $ et $ (v_n)_n $ sont deux suites, telles que, $ u_n = O(v_n) $.
Est ce qu'on peut dire que, $ u_n $ et $ v_n $ ont meme limite ? Et pourquoi ?
Merci d'avance. -
Tu connais la définition de limite + la définition de domination. Dom te dit : "au boulot !"
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Prendre $u=0$ et $v=id$, dois-je te trouver cet exemple tout seul ?
Je suis assez vif ce soir, je suis d’accord, mais franchement devrais-je être magnanime parce que c’est Noël ?
C’est le père fouettard qui remplace le Père Noël (:D -
$ u = 0 $ et $ v = \mathrm{id} $ ne sont pas des suites. Je ne sais pas pourquoi tu les sors ici. :-S
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Oh purée :-S
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Tu ne sais pas lire alors...
L’une est la suite nulle (pour tout entier naturel $n$, $u_n=0$), l’autre la suite identité (pour tout entier naturel $n$, $v_n=n$).
Toi tu aurais écrit « la suite $u_n=0$ » j’imagine...
Mais je conviens tout à fait pouvoir faire des erreurs. -
Non, ces cas sont des cas extrêmes. On se place dans des conditions génériques où $ u_n = O(v_n ) $.
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Ha encore une belle idée à toi « conditions génériques ».
J’ai bien aimé cet échange sinon :
-Que dirais-tu de te remettre à la théorie de Galois différentielle pour te détendre ? Car là ça semble trop facile pour toi.
-Non, j'ai fini tout ça maintenant.
Aller, $u$, la suite nulle et $v$, la suite constante égale à 2020, ça te va ?
Les deux convergent (enfin, je pense...sais-tu le démontrer ?). -
Bonjour,
Et ces mystérieuses "conditions génériques", c'est quand les deux suites ont déjà la même limite ? :-D -
Il est intuitif que $ n^{ \alpha } \cos (nt ) $ tend vers $ + \infty $, à l'infini, lorsque $ \alpha \geq 0 $, parce que $ \cos (nt ) $ est bornée et $ n^{ \alpha } $ tend vers $ + \infty $, à l'infini, mais, je ne sais pas à quel résultat du cours me référer afin de l'admettre.
Si je réussis à à répondre à cette question, pas besoin de me fatiguer à montrer que, $ u_n = O(v_n ) $ implique que, $ u_n $ et $ v_n $ ont meme limite à l'infini. -
C'est le fond du problème : tu ne veux pas te fatiguer.
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C'est du grand n'importe quoi, on est sur du charlatan de première classe ! Monsieur Pablo nous bassine depuis 15 ans qu'il maîtrise des théories profondes et difficiles mais raconte absolument n'importe quoi sur les suites réelles. Son excuse c'est bien sûr qu'il n'a pas pratiqué ça depuis longtemps... Mais au fait, quelle est la dernière fois que tu as "pratiqué" la géométrie algébrique ?
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Quelqu'un de sérieux peut-il répondre à cette question ?
Merci.
Edit,
Grillé par Poirot. -
Ne te focalise pas sur ce point inutile Poirot, parce que tu ne vas pas le comprendre, et essaye de m'aider dans mon problème.
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Poirot a écrit:Mais au fait, quelle est la dernière fois que tu as "pratiqué" la géométrie algébrique ?
Cet après midi. B-) -
Si vous étiez sérieux, vous m'auriez aidé.
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Dommage, il n'y a personne de sérieux sur ce forum. :-(
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Je ferme psychologiquement cette discussion.
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Alors, est ce que quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance. -
T'es en forme ce soir Pablo dis donc !
Pour ta culture, la suite $(n \cos(n))_n$ ne tend pas vers $+\infty$ en l'infini. Et pour la suite $(n^{42}\cos(n))_n$ c'est un problème ouvert si je ne m'abuse. -
Corto a écrit:Pour ta culture, la suite $(n \cos(n))_n$ ne tend pas vers $+\infty$ en l'infini. Et pour la suite $(n^{42}\cos(n))_n$ c'est un problème ouvert si je ne m'abuse.
Ah oui ? C'est vrai ?
Sais tu Corto si $ n^{ \alpha } e^{ i nt } $ converge ou diverge si $ t \not \in 2 \pi \mathbb{Z} $ et $ \alpha \geq 0 $ ?
Merci infiniment. :-) -
Oui je sais.
Mais vois-tu je ne voudrais pas publier mes travaux sur ce forum, j'ai trop peur qu'on me les vole. Je suis sûr que tu comprendras 8-)
Bonne soirée Pablo -
Je ne te crois pas Corto. (:P)
Il me semble qu'il est très facile d'étudier la convergence de la suite $ n^{ \alpha } e^{ in t } $.
Prouve moi concrètement que l'étude de la convergence de la suite $ n^{ \alpha } e^{ in t } $ est un problème ouvert pour te croire et dormir tranquillement cette nuit. :-D -
Allez, je mords une dernière fois à l’hameçon avant d'aller dormir.
Tu as raison, c'est un exercice facile de L1, pourquoi ne le fais-tu pas ?Pablo a écrit:Il me semble qu'il est très facile d'étudier la convergence de la suite $n\alpha e^{int}$
Je n'ai jamais dis ça, j'ai parlé de savoir si oui ou non $\lim_{n\to \infty} |n^{42}\cos(n)| = +\infty$, c'est ça le problème ouvert que j'ai évoqué. Tu ne réponds pas aux questions que te posent les intervenants, tu ne fournis aucun travail pour comprendre ce qu'on te dit, tu ne fais même pas l'effort de lire correctement ce que les gens écrivent. Ne compte pas sur moi pour t'apporter les réponses que tu attends sur un plateau d'argent.Pablo a écrit:Prouve moi concrètement que l'étude de la convergence de la suite $n^\alpha e^{int}$ est un problème ouvert
Bonne nuit Pablo. -
Corto a écrit:Tu as raison, c'est un exercice facile de L1, pourquoi ne le fais-tu pas ?
Non. En L1, on n'apprend pas encore la notion de limite au voisinage d'un point dans le plan complexe. -
Bonjour tous,
Comment calcule-t-on $ \displaystyle \lim_{ n \to + \infty } n^{ \alpha } e^{ i n t } $, où $ \alpha \geq 0 $, et $ t \in \mathbb{R} \backslash 2 \pi \mathbb{Z} $ ?
Merci d'avance pour toute aide. -
En apprenant les définitions et résultats de bases sur les nombres complexes et les suites de tels nombres, bon courage.
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Je n'ai aucun problème avec le cours sur les nombres et suites complexes. C'est la mise en application du cours à travers cet exercice qui me rebute en fait, et non pas autre chose.
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Si tu ne sais pas répondre à cette question très simple, c'est que tu as un problème avec ces notions.
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Toujours bon de se détendre en relisant quelques messages pas très anciens : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,2125098,2125098#msg-2125098
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En relisant la liste des cours appris par Pablo dans le lien de Chalk tout s'explique. Il n'y avait pas l'analyse...
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Pablo, pour pouvoir parler de limite, encore faut-il qu'elle existe, la tienne par exemple ne va pas exister dans "beaucoup" de situations car l'exponentielle fait tourner.
Même pour faire simplissime niveau lycée, commence par regarder le cas où $\alpha$ est nul, tu pourras trouver facilement au moins une valeur de $t$ strictement entre $0$ et $\pi$ pour laquelle la suite n'a pas de limite du tout, et cette situation est "relativement" générale.
Je te suggère, pour répondre à ma question, de réviser les valeurs de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$, et donc de $e^{i\theta}$, pour des valeurs remarquables de $\theta$ -
Sinon pour la convergence de ta série lorsque $|z|=1$, sans rentrer dans les détails afin de te laisser travailler :
1) il y a une condition nécessaire de convergence d'une série (même numérique) sur le terme général. Cette condition présente notamment l'avantage de s'écrire pareil en réel et en complexes, ça tombe bien vu ta connaissance des nombres complexes niveau terminale et de la trigonométrie (que moi j'avais vue en 3ème pour les valeurs remarquables). Ceci résout en moins de 15 secondes le cas $ \alpha \geq 0$. Je me demande notamment, au vu de certaines formules écrites, si tu connais $\sin(n\pi/2)$, même pour des petites valeurs entières de $n$.
2) le cas $\alpha<0$ se résout également en 15 secondes, cette fois-ci en utilisant un résultat pour le coup nettement moins trivial mais classique sur les séries, conséquence d'une transformation d'Abel (évidemment si on redémontre le résultat c'est plus long, mais si tu l'as dans ta besace ça va très vite). Bien entendu, lorsque $\alpha<-1$ ça tombe encore plus vite, mais le critère auquel je pense traite le cas général. -
Merci @math2,
Oui, $ \sin \big( \dfrac{ n \pi }{ 2 } \big) = (-1)^{n} $, si $ n \in 2 \mathbb{Z} + 1 $, et $ \sin \big( \dfrac{ n \pi }{ 2 } \big) = 0 $, si $ n \in 2 \mathbb{Z} $, mais, je vois mal où ça pourrait-elle être utile pour notre exercice.math2 a écrit:1) il y a une condition nécessaire de convergence d'une série (même numérique) sur le terme général. Cette condition présente notamment l'avantage de s'écrire pareil en réel et en complexes, ça tombe bien vu ta connaissance des nombres complexes niveau terminale et de la trigonométrie (que moi j'avais vue en 3ème pour les valeurs remarquables). Ceci résout en moins de 15 secondes le cas $ \alpha \geq 0$. Je me demande notamment, au vu de certaines formules écrites, si tu connais $\sin(n\pi/2)$, même pour des petites valeurs entières de $n$.
Je ne sais pas de quelle condition nécessaire tu sous entends. Peux tu être plus précis ? -
Ah oui, $\sin \big( \dfrac{ 2 \pi }{ 2 } \big) = (-1)^{2+1}$ !! Lamentable !!
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J'ai corrigé.
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Pablo_de_retour a écrit:Oui, $ \sin \big( \dfrac{ n \pi }{ 2 } \big) = (-1)^{n} $, si $ n \in 2 \mathbb{Z} + 1 $, et $ \sin \big( \dfrac{ n \pi }{ 2 } \big) = 0 $, si $ n \in 2 \mathbb{Z} $,J'ai corrigé.
C'est de la correction de haut vol !!! -
Bonjour Pablo, même si $t$ n’est pas de la forme que tu dis, il est possible que parmi tous les $nt$ avec $n$ dans $N$, il y en ait une infinité qui soient très proches (ou égaux) à des nombres de la forme $\dfrac\pi 2+k\pi$ avec $k$ dans $\Z$ (les nombres dont le cosinus est nul), ce qui fait que même si $n^\alpha$ est de plus en plus grand lorsque $\alpha>0$ et que $n$ croît, rien ne dit que le produit $n^\alpha\cos(nt)$ ne soit pas éventuellement tout petit infiniment souvent.
Quand une suite tend vers $+\infty$, tous ses termes sont au-dessus de n’importe quelle valeur fixée à partir d’un certain rang. -
Les limites de suites à valeurs complexes sont dans mon livre de MPSI.
Il suffit de montrer que $|z-l|$ tend vers 0 ou de calculer la limite des parties réelles et imaginaires. -
Pablo, penses tu qu'une suite qui prend alternativement les valeurs 1,0, -1, 0, successivement puisse converger ?
Et si $\alpha>0$, disons par exemple $\alpha=1$, quand tu multiplies par $n$, il y a trois valeurs d'adhérence : $-\infty$, $0$ et $+\infty$, et donc la suite ne converge pas.
Pour un $t$ plus général, c'est (nettement) plus difficile, mais tu as un bout de piste de Philippe Malot.
Pour le 1), moi je pose $u_n=n^\alpha z^n$ et je lis dans mon cours que si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\to 0$, ce qui équivaut au fait que $|u_n|\to 0$. Si $|z|=1$, on calcule très facilement $|u_n|$ (qui devient un réel), on voit qu'il ne tend pas vers $0$ lorsque $n\to +\infty$ et donc un coup de contraposition répond. -
Merci Philippe, meme si je n'ai pas compris où tu voulais en venir.math2 a écrit:Pour un $t$ plus général, c'est (nettement) plus difficile, mais tu as un bout de piste de Philippe Malot.
L'explication de Philippe n'est pas assez claire pour moi malheureusement.
Que voulait dire exactement Philippe dans sa réponse ? Je n'ai pas compris.
8-)
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