Bonjour
Comment démontre-t-on par exemple dans Mn(K) que $A\to A^n$ est continue ?
Impossible de trouver pour l'instant, ni même dans des livres.
Merci d'avance.
Bonjour
Une autre possibilité: la continuité ne dépend pas de la norme donc
soit ||.|| une norme matricielle, i.e
$ ||A B|| \leq ||A|| ||B||. $
Si $A_n$ tend vers $A $ et $B_n$ tend vers $B$ alors on montre que
$A_nB_n $ tend vers $AB$ (utiliser $A_n B_n -A B =(A_n-A) B_n + A (B_n-B) $)
on finit la démo par une récurrence.
Ou encore écrire $(A_0+H)^n -A_0 ^n$ sous la forme du produit $H (.......)$ et faire tendre $H$ vers $0$. La matrice dans la parenthèse est un peu pénible à écrire mais on montre qu'elle est bornée pour finir.
je sais que An est bornée donc ||An|| < Ma pour tout n pareil pour Bn < Mb
puis ||B|| < ||Bn -B|| + ||Bn||
donne au final ||AnBn - AB|| < Ma||Bn -B||+( ||Bn-B|| +||Bn||) ||An -A|| < Ma||Bn -B||+Mb||An -A|| ||Bn-B|| ||An -A||
et chacun des 3 termes de droite tend vers 0
Est-ce correct ??
Je ne comprends pourquoi tu as 3 termes.
Ensuite les inégalités sont larges (cela ne veut pas dire que c'est faux mais bon gardons de bonnes habitudes).
La suite $(A_n)$ est bornée car elle converge.
Donc (avec ce que tu as écrit)
$||A_n B_n - A b|| \leq M_a || B_n - B|| + ||B|| \, || A_n -A|| $
et c'est fini car le membre de droite tend vers 0 donc le membre de gauche tend vers 0. Ainsi on a montré que la suite $(A_n B_n) $ converge vers $AB$.
La récurrence est facile à faire...
bd2017 écrivait :
> Je ne comprends pourquoi tu as 3 termes. Je pensais qu'il fallait que je majore aussi IIBII mais visiblement ce n'est donc pas la peine
> Ensuite les inégalités sont larges oui bien sûr mais je n'arrivais pas à insérer le symbole
Les questions que je me pose :
1) Pourquoi on ne trouve pas cette démo dans les livres en général (du moins ceux que j'ai) c'est si trivial que ça ?
2) Puis-je adapter la démo dans une C-algèbre de dimension finie (je pense bien que oui avec comme norme une norme d'algèbre et l'équivalence des normes).
3) Quid dans une C-algèbre de dimension infinie ?
Cette démonstration est calquée sur le fait que le produit de deux suites réelles convergentes converge vers le produit des limites, il n'y a aucune différence, donc je pense qu'on peut considérer que c'est effectivement trivial.
Cette démonstration fonctionnera dans toute $\mathbb C$-algèbre munie d'une norme sous-multiplicative, au sens où $||AB|| \leq ||A|| \times ||B||$.
On peut aussi remarquer que l'application $P:(M_1,\dots,M_p)\mapsto M_1\times \cdots\times M_p$ est multilinéaire de $M_n(\K)^p$ dans $M_n(\K)$ qui sont deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Donc elle est continue.
D'autre part, $D:A\mapsto (A,\dots,A)$ est linéaire de $M_n(\K)$ dans $M_n(\K)^p$, qui sont toujours des espaces vectoriels normés de dimension finie donc elle est également continue.
Enfin, $H:A\mapsto A^p$ est la composée $H=P\circ D$ donc elle continue.
Réponses
Une autre possibilité: la continuité ne dépend pas de la norme donc
soit ||.|| une norme matricielle, i.e
$ ||A B|| \leq ||A|| ||B||. $
Si $A_n$ tend vers $A $ et $B_n$ tend vers $B$ alors on montre que
$A_nB_n $ tend vers $AB$ (utiliser $A_n B_n -A B =(A_n-A) B_n + A (B_n-B) $)
on finit la démo par une récurrence.
Ou encore écrire $(A_0+H)^n -A_0 ^n$ sous la forme du produit $H (.......)$ et faire tendre $H$ vers $0$. La matrice dans la parenthèse est un peu pénible à écrire mais on montre qu'elle est bornée pour finir.
side : oui pour K
je vais regarder du côté des formes bilinéaires je n'y avais pas pensé
Poirot : ok je comprends
bd2017 : j'obtiens ||AnBn - AB|| < ||An|| ||Bn -B|| + ||B|| ||An -A||
je sais que An est bornée donc ||An|| < Ma pour tout n pareil pour Bn < Mb
puis ||B|| < ||Bn -B|| + ||Bn||
donne au final ||AnBn - AB|| < Ma||Bn -B||+( ||Bn-B|| +||Bn||) ||An -A|| < Ma||Bn -B||+Mb||An -A|| ||Bn-B|| ||An -A||
et chacun des 3 termes de droite tend vers 0
Est-ce correct ??
Ensuite les inégalités sont larges (cela ne veut pas dire que c'est faux mais bon gardons de bonnes habitudes).
La suite $(A_n)$ est bornée car elle converge.
Donc (avec ce que tu as écrit)
$||A_n B_n - A b|| \leq M_a || B_n - B|| + ||B|| \, || A_n -A|| $
et c'est fini car le membre de droite tend vers 0 donc le membre de gauche tend vers 0. Ainsi on a montré que la suite $(A_n B_n) $ converge vers $AB$.
La récurrence est facile à faire...
> Je ne comprends pourquoi tu as 3 termes. Je pensais qu'il fallait que je majore aussi IIBII mais visiblement ce n'est donc pas la peine
> Ensuite les inégalités sont larges oui bien sûr mais je n'arrivais pas à insérer le symbole
Les questions que je me pose :
1) Pourquoi on ne trouve pas cette démo dans les livres en général (du moins ceux que j'ai) c'est si trivial que ça ?
2) Puis-je adapter la démo dans une C-algèbre de dimension finie (je pense bien que oui avec comme norme une norme d'algèbre et l'équivalence des normes).
3) Quid dans une C-algèbre de dimension infinie ?
Cette démonstration fonctionnera dans toute $\mathbb C$-algèbre munie d'une norme sous-multiplicative, au sens où $||AB|| \leq ||A|| \times ||B||$.
D'autre part, $D:A\mapsto (A,\dots,A)$ est linéaire de $M_n(\K)$ dans $M_n(\K)^p$, qui sont toujours des espaces vectoriels normés de dimension finie donc elle est également continue.
Enfin, $H:A\mapsto A^p$ est la composée $H=P\circ D$ donc elle continue.