Signe d'une somme

Est-ce une série alternée (signe du terme qui change selon la parité) qui vérifie le critère spécial (décroissance vers $0$ de la valeur absolue du terme générale), au moins à partir d'un certain rang ?

Si c'est le cas, on a un théorème sur le signe de la somme, il me semble.

Edit : en rouge, pour correspondre à la nomenclature et éviter des confusions.
Suite au message de bisam, plus bas dans ce fil.

En effet, ce n'est pas si "immédiat".
Là, déjà, est-ce décroissant "tout de suite" ? (non, c'est à partir de $n=4$ d'après mes gribouillages)

Les suites $(S_{2n+1})_n$ et $(S_{2n})_n$ sont adjacentes de limite $S$ avec l'encadrement suivante (à partir du rang où c'est décroissant ! et en omettant les premiers termes) :

Pour tout entier $n$ : $S_{2n+1} < S < S_{2n} $

Il suffit d'avoir l'un des termes $S_{2n+1}$ strictement positif ou l'un des termes $S_{2n}$ strictement négatif pour conclure. Mais ensuite il faut "remettre" les premiers termes...

Bon, mon message est une pagaille, pardon... il mélange "à partir d'un certain rang" et le cas "facile".
Je m'embrouille, et je me défausse lâchement en disant que c'est à cause du Chassagne...

Si l'on ne veut pas passer par le cosinus, on observe que la suite $a_n=\frac {8^n}{(2n)!}$ est décroissante pour $ n \ge 1$.

On peut donc écrire :
$\displaystyle S=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{(-8)^{n}}{(2n)!}
=1-\frac{8}{2!}+\frac{8^{2}}{4!}+\underset{k=2}{\overset{+\infty }{\sum }}(%
\frac{(-8)^{2k-1}}{(4k-2)!}+\frac{(-8)^{2k}}{(4k)!})=-\frac{1}{3}+\underset{%
k=2}{\overset{+\infty }{\sum }}(-\frac{8^{2k-1}}{(4k-2)!}+\frac{8^{2k}}{(4k)!})<0$

D'ailleurs, lorsque l'on construit la fonction cosinus, à un moment il faut prouver que cette fonction s'annule sur $\mathbb R_+$, et c'est cet argument qui est invoqué pour prouver que $\cos 2<0$.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Oui tu as raison.
Série alternée signifie seulement « le terme général change de signe selon la parité de l’indice ».

Je vais ajouter un édit.