Polynômes de Legendre
dans Analyse
Connaissez-vous une démonstration "simple" de l'égalité suivante : $L'_{k+1} - L'_{k-1} = (2k+1)L_k ,$ si $(L_k)$ désigne la suite des polynômes de Legendre, c'est-à-dire
$$L_k = \frac{1}{2^k k!} \big[(X^2-1)^k\big]^{(k)} \quad
?
$$ On peut expliciter les polynômes en utilisant la formule de Leibniz et vérifier l'égalité, mais ce n'est pas très élégant - et assez pénible.
$$L_k = \frac{1}{2^k k!} \big[(X^2-1)^k\big]^{(k)} \quad
?
$$ On peut expliciter les polynômes en utilisant la formule de Leibniz et vérifier l'égalité, mais ce n'est pas très élégant - et assez pénible.
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Réponses
On peut utiliser également que la famille des $(L_{n})_{n\geq 0}$ est une famille orthogonale pour $\displaystyle <P,Q>=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt$ et est aussi une base échelonnée en degré de $\mathbb{R}[X].$
On peut également montrer que $L_{n}(1)=1$ et $L_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
Les deux premiers points se démontrent par des IPP répétées (et on se ramène ainsi à des intégrales de Wallis pour le calcul de la norme des polynômes de Legendre).
Le dernier point s'établit en considérant l'expression obtenue en dérivant par la formule de Leibniz.
Une fois ces choses acquises, on procède alors par récurrence.
Le cas $n=1$ est facilement traité.
Pour la phase d'hérédité, on écrit : $\displaystyle L'_{n+2}-L'_{n}=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{L_{k}}{\|L_{k}\|^2}<L'_{n+2}-L'_{n},L_{k}>.$
Or, en procédant par IPP, on a pour $k\in \{0,\ldots,n+1\}$ $$<L'_{n+2}-L'_{n},L_{k}>\,=\big[ (L_{n+2}-L_{n})L_{k}\big]_ {-1}^{1}-\int_{[-1,1]}(L_{n+2}-L_{n})L'_{k}dt.
$$ Compte-tenu des valeurs aux bords des polynômes de Legendre et du caractère orthogonal de cette famille, on obtient pour $k\in \{0,\ldots,n+1\}$ $$<L'_{n+2}-L'_{n},L_{k}>\,=\int_{[-1,1]}L_{n}L'_{k}dt.
$$ Si $k\in \{0,\ldots,n\}$ alors $\displaystyle \int_{[-1,1]}L_{n}L'_{k}dt=0.$
Et pour $k=n+1,$ $$\int_{[-1,1]}L_{n}L'_{n+1}dt=\int_{[-1,1]}L_{n}(L'_{n+1}-L'_{n-1})dt=(2n+1)\|L_{n}\|^{2}.
$$ Il vient alors : $$L'_{n+2}-L'_{n}=(2n+1)\frac{\|L_{n}\|^2}{\|L_{n+1}\|^{2}}L_{n+1}=(2n+3)L_{n+1}.$$
J'avais écrit cette question dans un DM justement pour pouvoir calculer la norme des polynômes (j'ai suivi wiki) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_de_Legendre
Je pense que la façon la plus simple (en tout cas accessible à un étudiant) est de procéder comme sur ce sujet.
Ce n'est pas trop grave, on pourra admettre cette relation.