Calcul d'une intégrale

Déjà on peut simplifier par $ t^2+2$,
la fraction s'écrit $ \frac{ t^3}{(t^2-2)(t^4+4)}+\frac {1}{t^4+4}= \frac{ t^3}{(t^2-2)(t^4+4)}+\frac {1}{(t^2-2t+2)(t^2+2t+2)}$.
Dans la première, changement de variable et décomposition en éléments simples, dans la deuxième, décomposition en éléments simples.

Si on veut avoir une décomposition en éléments simples sans pôle on peut, je pense, commencer par le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$. Ce qu'on gagne sur les pôles on le paye en devant utiliser une formule d'addition de la fonction arctangente.

bonsoir

la factorisation proposée par Yves est la bonne et après simplification il reste la fraction :

$$\frac{t -1}{(t^2 - 2t + 2)(t^2 - 2)}$$

que l'on peut décomposer en $\frac{at+b}{t^1 - 2t + 2} + \frac{c}{t + \sqrt{2}} + \frac{d}{t - \sqrt{2}}$

a, b, c, d sont des constantes réelles que l'on détermine par identification mais ces constantes sont lourdes

et après multiplication par 16, je trouve un résultat en $\pi/3$ et avec des logarithmes

cordialement

bonjour Yves

tu as raison : on trouve bien $\pi$

une primitive est à une constante additive près est : $F(t) = 2ln|\frac{t^2 - 2}{t^2 - 2t +2}| + 4Arctan(t-1)$

le résultat de l'intégration de 0 à 1 donne $\pi$

l'intégrande admet une discontinuité sur l'intervalle d'intégration [0; +oo[ pour $x = \sqrt{2}$ pôle simple

mais dans l'intégration cette discontinuité est digérée (compensation de divergence de chaque côté du pôle)

et donc on peut donner le résultat de l'intégration de 0 à +oo soit $3\pi$

bonne soirée