Bonjour
Je me demande si j'ai le droit de dire que puisque $\int\frac{1}{x}$ diverge alors $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+e^{1/x}}$ diverge même si évidemment la lim en $+\infty$ est finie à 1/2 ?
Merci.
Bonsoir,
Non, tu n'as pas le droit de le dire.
Par contre, si l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(x)dx$ d'une fonction à valeurs réelles est convergente et que $\ell=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$ est un nombre réel, alors $\ell=0$.
Eh bien il s'agit d'estimer la taille de ta fonction au voisinage de l'infini, ce qu'un petit développement asymptotique usuel te donnera, au travail !
Merci. J'obtiens en remplaçant l'étude à l'infini de 1/x par l'étude en 0 de x, un DL à l'ordre 2 de -x/4 donc j'en déduis que cela converge, c'est cela?
Bonjour Deneb,
N'oublie pas que le changement de variable dans l'intégrale $ y = \frac1x$ va te fournir un terme $ - \frac{1}{x^2}$ dans l'intégrale , et ta fonction sera équivalente à $ -\frac{1}{2x^2} $ qui n'est pas intégrable en 0 .
fait attention :-D
Merci à tous. Suivant conseils pas absolument convergents, à moins que cela ne soit pour moi un problème de focale neuronale , j'en déduis une même divergence de mon intégrale car restera en $\int\frac{1}{x}$ après DL.
Réponses
Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Notamment tu sembles vouloir appliquer quelque chose avec ce « ... alors... ».
Cordialement
Dom
Non, tu n'as pas le droit de le dire.
Par contre, si l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty} f(x)dx$ d'une fonction à valeurs réelles est convergente et que $\ell=\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$ est un nombre réel, alors $\ell=0$.
ton intégrale $\int_0^{+oo}\frac{dt}{1+e^{\frac{1}{t}}}$ diverge sur la borne inférieure
tu n'as pas à faire référence à la limite infinie de ln(x) en zéro
tu fais le changement de variable d'intégration u = 1/t avec u > 0
et l'intégrale devient :$$\int_0^{+oo}\frac{du}{u^2(1+ e^u}$$
qui diverge manifestement sur la borne inférieure
cordialement
N'oublie pas que le changement de variable dans l'intégrale $ y = \frac1x$ va te fournir un terme $ - \frac{1}{x^2}$ dans l'intégrale , et ta fonction sera équivalente à $ -\frac{1}{2x^2} $ qui n'est pas intégrable en 0 .
fait attention :-D