Théorème de Banach-Steinhaus
Bonjour, le théorème s'énonce ainsi dans mon cours.
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels normés avec $E$ complet et $U\subset \mathcal L(E,F)$ une famille telle que $\sup_{T\in U}\|Tx\|_F<\infty,\ \forall x\in E$. Alors $\sup_{T\in U}\|T\|<\infty$.
La démonstration est un peu compliquée mais d'après moi (c'est évidemment faux) ne peut-on pas dire, que $\forall x\in E,\ \forall T\in U$ on a $\|Tx\|_F\leq \sup_{T\in U}\|Tx\|_F<\infty$ et que du coup c'est aussi vrai $\forall \|x\|=1$ et que du coup $\forall T\in U,\ \|T\|<\infty\implies \sup_{T\in U}\|T\|<\infty$ ?
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels normés avec $E$ complet et $U\subset \mathcal L(E,F)$ une famille telle que $\sup_{T\in U}\|Tx\|_F<\infty,\ \forall x\in E$. Alors $\sup_{T\in U}\|T\|<\infty$.
La démonstration est un peu compliquée mais d'après moi (c'est évidemment faux) ne peut-on pas dire, que $\forall x\in E,\ \forall T\in U$ on a $\|Tx\|_F\leq \sup_{T\in U}\|Tx\|_F<\infty$ et que du coup c'est aussi vrai $\forall \|x\|=1$ et que du coup $\forall T\in U,\ \|T\|<\infty\implies \sup_{T\in U}\|T\|<\infty$ ?
Réponses
-
Le majorant $\sup_{T\in U}\|Tx\|_F$ dépend de $x$, il n'y a a priori aucune raison pour que la borne supérieure sur les $x$ de cette quantité, même ceux de norme $1$, soit finie.
-
Oui $\sup_{T\in U}\|Tx\|_F$ dépend de $x$ j'ai un peu mal énoncé mes quantificateurs dans ma question, mais vous dites "il n'y a a priori aucune raison pour que la borne supérieure sur les $x$ de cette quantité, même ceux de norme $1$, soit finie."
Pourtant pour tout $x$ on a bien que $\sup_{T\in U}\|Tx\|_F<\infty$ donc ca devrait être le cas :-S -
supp
-
Bonsoir,
side : Parfois la notation ${\cal L}(E,F)$ désigne l'ensemble des applications linéaires continues $E\to F$. C'est peut-être le cas ici. Ou bien c'est un oubli de Code_Name. -
supp
-
@side : Je confirme que la notation est conventionnelle pour les applications linéaires continues.
@Code_Name : il y un problème de quantification que tu n'as pas l'air de saisir. Dire que $\sup_{T \in U} ||Tx|| < +\infty$ veut dire que si je me donne un $x \in E$, alors il existe $M > 0$ tel que pour tout $T \in U$ on a $||Tx|| \leq M$. Cependant ce $M$ dépend a priori de $x$.
Ce que toi tu affirmes c'est qu'on peut passer à la borne supérieure sur les $x$ de norme $1$, autrement dit qu'il existe $M > 0$ tel que pour tout $T \in U$ et tout $x \in E$ de norme $1$ on a $||Tx|| \leq M$, ce qui est bien plus fort, le $M$ est uniforme en $x$ cette fois-ci. C'est exactement ça la puissance du théorème de Banach-Steinhaus, on obtient une estimation uniforme à partir d'une estimation ponctuelle. -
Code Name: tu confonds $\forall x\exists y$ avec $\exists y\forall x$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Poirot je vais essayer d'être plus clair en reprenant votre phrase.
"si je me donne un $x\in E$ , alors il existe $M_x>0$ tel que pour tout $T\in U$ on a $\|Tx\|<M_x$."
Je me donne donc un $x\in E$ tel que $\|x\|=1$. Alors il existe $M_x>0$ tel que pour tout $T\in U$ on a $\|Tx\|<M_x$.
Je considère alors l'ensemble de ces $M_x$ pour $\|x\|=1$ et je prends le supremum de ces $M_x$ que je note $R$.
Alors on a donc que $\forall \|x\|=1,\forall T\in U:\|Tx\|<R$ -
Bien sûr, mais ce $R$ n'a aucune raison d'être fini, c'est le supremum d'un ensemble a priori quelconque de réels positifs !
-
D'accord je vois merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 8
+5 Invités