On établit l'existence. On change la variable $\displaystyle x \leadsto t$ avec $\displaystyle x=1/t^2, t>0.$ On écrit $\displaystyle 1+a+a^2 = {1-a^3 \over 1-a}$ avec $a=t^3$ puis on développe en série le facteur $\displaystyle {1 \over 1-t^9 }$ dans l'intégrande. On justifie l'inversion sommation-intégration. Quand on trouve le résultat, on cherche une simplification : je n'en trouve pas.
il s'agit du développement en série rationnelle au carré quel que soit x de la dérivée de la fonction Digamma
et donc le résultat annoncé par Yves s'écrit sous forme de différence de deux séries numériques convergentes :
$$4\Sigma_0^{+oo}\frac{1}{(4+9n)^2}- 4\Sigma_0^{+oo}\frac{1}{(7+9n)^2} = 0,1799390932....$$
Réponses
$\displaystyle {4\over 81}(\psi^{(1)}(\frac49)-\psi^{(1)}(\frac79))$ avec la dérivée de la fonction digamma.
On établit l'existence. On change la variable $\displaystyle x \leadsto t$ avec $\displaystyle x=1/t^2, t>0.$ On écrit $\displaystyle 1+a+a^2 = {1-a^3 \over 1-a}$ avec $a=t^3$ puis on développe en série le facteur $\displaystyle {1 \over 1-t^9 }$ dans l'intégrande. On justifie l'inversion sommation-intégration. Quand on trouve le résultat, on cherche une simplification : je n'en trouve pas.
je ne suis pas arrivé jusqu'au résultat annoncé par Yves
mais je peux donner le résultat numérique en effet :
$[\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}]'= \Sigma_0^{+oo}\frac{1}{(x+n)^2}$
il s'agit du développement en série rationnelle au carré quel que soit x de la dérivée de la fonction Digamma
et donc le résultat annoncé par Yves s'écrit sous forme de différence de deux séries numériques convergentes :
$$4\Sigma_0^{+oo}\frac{1}{(4+9n)^2}- 4\Sigma_0^{+oo}\frac{1}{(7+9n)^2} = 0,1799390932....$$
cordialement