Théorème de Weierstrass

Dans l'exercice suivant on donne une preuve probabiliste du théorème de Weierstrass.

Après avoir résolu toutes les autres parties, il ne reste qu'à vérifier 1.

Pourquoi suffit-il de considérer le compact $[0;1]$ ? Quelle relation y a-t-il entre $[0;1]$ et un compact $K$ ? (par exemple si on prend l'ensemble des $\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$, avec $0,$ il s'agit bien d'un compact)
Merci d'avance.