Série entière dérivée
Bonjour
À propos de la sériée dérivée, j'ai du mal avec la preuve du rayon de convergence d'une série entière dérivée.
La preuve nous dit que puisque
$$
\limsup (n+1)^{1 \over n} = 1.
$$ Alors
$$
\limsup a_{n+1} (n+1)^{1 \over n} = \limsup a_{n+1}.
$$ Mais il manque un argument ! Par exemple si $a_{n} = (-1)^{n}$ et $b_{n} = (-1)^{n+1}$ alors $a_{n} b_{n} = -1$ bien que le produit des limites supérieures soient $1$.
Il pourrait se passer la même chose ici, cette preuve ne me convainc pas.
Deuxièmement j'aimerais montrer qu'une série entière est holomorphe sur l'intérieur de son disque de convergence.
Pour cela je vais utiliser un théorème de différentiation terme à terme, les applications
$$
z \rightarrow a_{n}z^{n}
$$ sont $C^{1}(D)$ car holomorphe dont la différentielle en $z$ est $a_{n} n z^{n-1}$ (c'est plus pratique de ne pas écrire la jacobienne dans $\mathbb{R}^{2}$. Montrons que la série des dérivées convergence uniformément localement. Soit $K$ un compact de $D$. Disons que $D$ est de rayon $R$ alors il existe un disque $D'$ dans $D$ de rayon $r<R$ tel que $K \subseteq D'$. Et soit $z \in K$. On a
$$
|a_{n} n z^{n-1}| \le n |a_{n}| r^{n-1}.
$$ Et comme la série entière dérivée converge pour $|z| < R$ et qu'elle converge absolument à l'intérieur du disque de convergence. Au final on a bien une convergence uniforme locale.
Dernière chose à vérifier la série entière $f$ converge simplement sur $D$ au moins en un point. Conclusion $f$ est bien $C^{1}(D)$ et
$$
D_{z} f = \sum_{n \ge 0} D_{z} a_{n} z^{n}.
$$ Dernier argument, vous me direz s'il emporte votre adhésion, moi oui ça va sans être trop sûr, c'est :
euh une série de matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
$$ reste de cette forme.
Preuve. On fait rentrer la série dans la matrice :)o 8-) :-D
À propos de la sériée dérivée, j'ai du mal avec la preuve du rayon de convergence d'une série entière dérivée.
La preuve nous dit que puisque
$$
\limsup (n+1)^{1 \over n} = 1.
$$ Alors
$$
\limsup a_{n+1} (n+1)^{1 \over n} = \limsup a_{n+1}.
$$ Mais il manque un argument ! Par exemple si $a_{n} = (-1)^{n}$ et $b_{n} = (-1)^{n+1}$ alors $a_{n} b_{n} = -1$ bien que le produit des limites supérieures soient $1$.
Il pourrait se passer la même chose ici, cette preuve ne me convainc pas.
Deuxièmement j'aimerais montrer qu'une série entière est holomorphe sur l'intérieur de son disque de convergence.
Pour cela je vais utiliser un théorème de différentiation terme à terme, les applications
$$
z \rightarrow a_{n}z^{n}
$$ sont $C^{1}(D)$ car holomorphe dont la différentielle en $z$ est $a_{n} n z^{n-1}$ (c'est plus pratique de ne pas écrire la jacobienne dans $\mathbb{R}^{2}$. Montrons que la série des dérivées convergence uniformément localement. Soit $K$ un compact de $D$. Disons que $D$ est de rayon $R$ alors il existe un disque $D'$ dans $D$ de rayon $r<R$ tel que $K \subseteq D'$. Et soit $z \in K$. On a
$$
|a_{n} n z^{n-1}| \le n |a_{n}| r^{n-1}.
$$ Et comme la série entière dérivée converge pour $|z| < R$ et qu'elle converge absolument à l'intérieur du disque de convergence. Au final on a bien une convergence uniforme locale.
Dernière chose à vérifier la série entière $f$ converge simplement sur $D$ au moins en un point. Conclusion $f$ est bien $C^{1}(D)$ et
$$
D_{z} f = \sum_{n \ge 0} D_{z} a_{n} z^{n}.
$$ Dernier argument, vous me direz s'il emporte votre adhésion, moi oui ça va sans être trop sûr, c'est :
euh une série de matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
$$ reste de cette forme.
Preuve. On fait rentrer la série dans la matrice :)o 8-) :-D
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Réponses
Pour commencer, peux-tu me donner un exemple de fonction holomorphe injective dont la dérivée s'annule.
amicalement,
e.v.
Si jamais je souhaite calculer
$$
\int_{\gamma } f(z)dz
$$ le long d'une courbe j'ai la formule
$$
\int_{\gamma } f(z)dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) |\gamma'(t)| .
$$ Le module dans la formule m'embête par exemple avec le module on arrive pas à montrer la formule de la moyenne
$$
\int_{B(a,r)} f(z) = {1 \over 2\pi } \int_{0}^{2\pi} f(a+r \exp(i\theta)) d\theta.
$$ Mais si on enlève le module c'est bon.
En fait sauf erreur il y a 2 types d'intégrales curvilignes :
L'intégrale curviligne classique en analyse complexe
$\int_{\Gamma} f(z)dz = \int_{[a,b]} f(\gamma(t)) \gamma'(t)dt$ qui est la limite de sommes de type $\sum_k f(\gamma(x_k))(x_{k+1} - x_k)$ (ici dans le pas, la norme et la direction de $x_{k+1} - x_k$ nous importe)
L'intégrale curviligne par rapport à l'abscisse curviligne
$\int_{\Gamma} f(z)ds = \int_{[a,b]} f(\gamma(t)) ||\gamma'(t)||dt $ limite de $\sum_k f(\gamma(x_k))||x_{k+1} - x_k||$
Ici dans le pas uniquement la norme nous intéresse
Il me semble que cette dernière est surtout utilisée pour les champs réels et moins pour les fonctions holomorphes
Je peux me tromper.
Je me pose une autre question sur les fonctions holomorphe sur un ouvert $\Omega$ connexe. Si $f$ n'est pas constante alors $f$ n'admet pas de maximum locale. Cela implique-t-il que
$$
f \le \sup_{\partial \Omega} |f| ,
$$ en acceptant $+\infty$ mais je ne crois pas. Une telle fonction pourrait ne même pas être définie ! Typiquement, $\exp({1 \over z })$ sur le disque unité ouvert. En $0$ la limite du module dépend de la direction, c'est $1$ à la vertical et $+ \infty$ à l'horizontal. Donc ce n'est pas bon.
Je ne comprends pas ton interrogation concernant $z \mapsto e^{1/z}$, ta fonction n'est pas holomorphe sur le disque unité ! Si tu parles du disque unité épointé (privé de $0$) alors il n'y a aucun problème, on te parle d'une borne supérieure, pas d'une limite, et cette borne supérieure est infinie comme tu l'as remarqué.