Série entière dérivée

Bonjour
À propos de la sériée dérivée, j'ai du mal avec la preuve du rayon de convergence d'une série entière dérivée.
La preuve nous dit que puisque
$$
\limsup (n+1)^{1 \over n} = 1.

$$ Alors
$$
\limsup a_{n+1} (n+1)^{1 \over n} = \limsup a_{n+1}.

$$ Mais il manque un argument ! Par exemple si $a_{n} = (-1)^{n}$ et $b_{n} = (-1)^{n+1}$ alors $a_{n} b_{n} = -1$ bien que le produit des limites supérieures soient $1$.
Il pourrait se passer la même chose ici, cette preuve ne me convainc pas.

Deuxièmement j'aimerais montrer qu'une série entière est holomorphe sur l'intérieur de son disque de convergence.
Pour cela je vais utiliser un théorème de différentiation terme à terme, les applications
$$
z \rightarrow a_{n}z^{n}

$$ sont $C^{1}(D)$ car holomorphe dont la différentielle en $z$ est $a_{n} n z^{n-1}$ (c'est plus pratique de ne pas écrire la jacobienne dans $\mathbb{R}^{2}$. Montrons que la série des dérivées convergence uniformément localement. Soit $K$ un compact de $D$. Disons que $D$ est de rayon $R$ alors il existe un disque $D'$ dans $D$ de rayon $r<R$ tel que $K \subseteq D'$. Et soit $z \in K$. On a
$$
|a_{n} n z^{n-1}| \le n |a_{n}| r^{n-1}.


$$ Et comme la série entière dérivée converge pour $|z| < R$ et qu'elle converge absolument à l'intérieur du disque de convergence. Au final on a bien une convergence uniforme locale.

Dernière chose à vérifier la série entière $f$ converge simplement sur $D$ au moins en un point. Conclusion $f$ est bien $C^{1}(D)$ et
$$
D_{z} f = \sum_{n \ge 0} D_{z} a_{n} z^{n}.

$$ Dernier argument, vous me direz s'il emporte votre adhésion, moi oui ça va sans être trop sûr, c'est :
euh une série de matrices de la forme
$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
$$ reste de cette forme.

Preuve. On fait rentrer la série dans la matrice :)o 8-) :-D