Justification convergence
dans Analyse
Bonjour
Je suis en train de travailler sur le triple produit de Jacobi et m'intéresse aux questions de convergence qui sont souvent totalement négligées dans la littérature.
J'utilise ce document : https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/blog.nus.edu.sg/dist/2/3912/files/2014/10/Chapter9-20ycqjr.pdf
Soit $q$ et $x$ deux complexes avec $|q|<1$. On définit $(q)_0=1$ et $\displaystyle{(q)_n =\prod_{j=1}^n \left(1-q^j\right)}$. On a alors l'identité (en haut de la page 109 du doc) :
$$
(1+x)(1+xq) \dots (1+xq^{n-1}) = \sum_{k=0}^n \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k.
$$ Jusque là, pas de souci. Ensuite l'auteur passe à la limite quand $n \rightarrow + \infty$ et en déduit
$$
\prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1+xq^{k-1}\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{q^{k(k-1)/2}}{(q)_k} x^k,
$$ et c'est là que les ennuis commencent pour moi.
Le produit est convergent puisque $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty} xq^{k-1}}$ est absolument convergente. Dans le but d'appliquer ce que le papier appelle "théorème de Tannery", j'ai écrit
$$
\sum_{k=0}^n \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k(n),
$$ avec $\displaystyle{u_k(n) = \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k}$ si $n\geq k$ et $u_k(n) =0$ si $0 \leq n < k$. Pour tout $k\in \N$, on a
$$
\lim_{n \rightarrow+\infty} u_k(n)= \frac{q^{k(k-1)/2}}{(q)_k} x^k.
$$ Ce qui me manque pour conclure c'est l'hypothèse de domination : $\left|u_k(n) \right| \leq M_k$ avec $\sum {M_k}$ qui converge.
J'avais pensé partir de
$$
(1+|x|)(1+|xq|) \dots (1+|xq^{n-1}|) = \sum_{k=0}^n \frac{(|q|)_n}{(|q|)_k (|q|)_{n-k}} |q|^{k(k-1)/2} |x|^k,
$$ et le produit étant convergent, la série aussi. Si j'arrivais à prouver
$$
\left| \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} \right| \leq \frac{(|q|)_n}{(|q|)_k (|q|)_{n-k}},
$$ j'aurais gagné. J'ai fait quelques essais numériques et n'ai pas trouvé de contre exemples à cette inégalité, néanmoins je ne parviens à voir pourquoi elle serait vraie, et aurait même tendance à penser qu'elle est fausse.
Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci.
Je suis en train de travailler sur le triple produit de Jacobi et m'intéresse aux questions de convergence qui sont souvent totalement négligées dans la littérature.
J'utilise ce document : https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/blog.nus.edu.sg/dist/2/3912/files/2014/10/Chapter9-20ycqjr.pdf
Soit $q$ et $x$ deux complexes avec $|q|<1$. On définit $(q)_0=1$ et $\displaystyle{(q)_n =\prod_{j=1}^n \left(1-q^j\right)}$. On a alors l'identité (en haut de la page 109 du doc) :
$$
(1+x)(1+xq) \dots (1+xq^{n-1}) = \sum_{k=0}^n \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k.
$$ Jusque là, pas de souci. Ensuite l'auteur passe à la limite quand $n \rightarrow + \infty$ et en déduit
$$
\prod_{k=1}^{+\infty} \left( 1+xq^{k-1}\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{q^{k(k-1)/2}}{(q)_k} x^k,
$$ et c'est là que les ennuis commencent pour moi.
Le produit est convergent puisque $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty} xq^{k-1}}$ est absolument convergente. Dans le but d'appliquer ce que le papier appelle "théorème de Tannery", j'ai écrit
$$
\sum_{k=0}^n \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k = \sum_{k=0}^{+\infty} u_k(n),
$$ avec $\displaystyle{u_k(n) = \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} q^{k(k-1)/2} x^k}$ si $n\geq k$ et $u_k(n) =0$ si $0 \leq n < k$. Pour tout $k\in \N$, on a
$$
\lim_{n \rightarrow+\infty} u_k(n)= \frac{q^{k(k-1)/2}}{(q)_k} x^k.
$$ Ce qui me manque pour conclure c'est l'hypothèse de domination : $\left|u_k(n) \right| \leq M_k$ avec $\sum {M_k}$ qui converge.
J'avais pensé partir de
$$
(1+|x|)(1+|xq|) \dots (1+|xq^{n-1}|) = \sum_{k=0}^n \frac{(|q|)_n}{(|q|)_k (|q|)_{n-k}} |q|^{k(k-1)/2} |x|^k,
$$ et le produit étant convergent, la série aussi. Si j'arrivais à prouver
$$
\left| \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} \right| \leq \frac{(|q|)_n}{(|q|)_k (|q|)_{n-k}},
$$ j'aurais gagné. J'ai fait quelques essais numériques et n'ai pas trouvé de contre exemples à cette inégalité, néanmoins je ne parviens à voir pourquoi elle serait vraie, et aurait même tendance à penser qu'elle est fausse.
Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci.
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Réponses
J'ai l'impression qu'on peut montrer $\left|\Binom{n}{k}_q \right|\leqslant \Binom{n}{k}_{|q|}$ par récurrence sur $n$ en utilisant la relation $\displaystyle \Binom{n+1}{k+1}_q = \Binom{n}{k}_q + \Binom{n}{k+1}_q q^{k+1}$.
Bien vu Poirot, je ne pensais pas qu'on pourrait encadrer $|(q)_n|$ par quelque chose d'indépendant de $n$, ce qui me faisait douter de la véracité de "ma" propriété. Et c'est plus simple que la proposition de Calli, mais moins joli à mon goût :-D
side, l'analyse complexe et l'intégration étant un peu loin je n'ai pas creusé ta piste, merci quand même.
PS : Je rappelle que $\Binom{n}k_q= \frac{(q)_n}{(q)_k (q)_{n-k}} $.
$$
k^2 |q|^{k(k-1)/2} |x|^k = \exp\left( k \left[ 2 \frac{\ln k}{k} + \frac{k-1}{2} \ln |q| + \ln |x| \right] \right)
$$
tend vers 0 quand $k$ tend vers $+\infty$, donc $\displaystyle{ |q|^{k(k-1)/2} |x|^k} = o\left( \frac{1}{k^2} \right)$ en $+\infty$, d'où la convergence de la série $\displaystyle{ \sum_{ k = 0}^{+\infty} |q|^{k(k-1)/2} |x|^k}$.
Il y a sans doute plus rapide ?
Bonne soirée.