Développement limité d'une dérivée (ln)

tgbne
tgbne
dans Analyse
Bonjour, je sèche sur un calcul d'un développement limité en 0 de :

f(x) = ln (1 + x + (x²/2!) + ... + (xn/n!))

on m'indique de dériver f. Ce que j'ai fait. Après je bloque. Je trouve

f'(x) = (1 + x + (x²/2!) + ... + (xn-1)/(n-1)!) / (1 + x + (x²/2!) + ... + (xn/n!)),

après j'utilise le développement de 1 / (1+u) lorsque u tend vers 0 en posant u = x + (x²/2!) + ... + (xn/n!)).
Je fais ça pour avoir un produit plutôt qu'un dénominateur.

Or
1 / (1+u) = 1 - u + o(u).
Mais je trouve des calculs qui semblent interminables.
Qu'est-ce que je fais de mal. Est-ce la bonne méthode ? Je vous remercie.

Réponses

  • side
    side
    supp
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux remarquer que $$\frac{1+x+\dots+x^{n-1}/(n-1)!}{1+x+\dots+x^n/n!} = 1 - \frac{1}{1+x+\dots+x^n/n!}$$ et appliquer le développement dont tu parles. Quel est l'ordre attendu ?

    EDIT : formule fausse, voir ci-dessous. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2159288,2159348#msg-2159348
  • tgbne
    tgbne
    on me demande de trouver un développement limité à l'ordre n + 1 au voisinage de 0

    et dans l'indication : ordre n de f' au voisinage de 0
  • Audeo
    Audeo
    Bonsoir,

    On peut aussi s'en sortir en partant comme cela : $$1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=\mathrm e^x-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+o(x^{n+1})=\mathrm e^x\biggl(1-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+o(x^{n+1})\biggr).$$ Ajout : D'où $$\ln\biggl(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\biggr)=x+\ln\biggl(1-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+o(x^{n+1})\biggr)=x-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+o(x^{n+1}).$$
  • Poirot
    Poirot
    Ça ne me semble pas clair comme ça. On peut commencer par développer $\frac{1}{1+x+\dots+x^n/n!}$ à l'ordre $n$, puis observer que l'on peut se passer de plus en plus de termes dans les parenthèses mises à des puissances de plus en plus grandes, mais il reste encore des multinômes pas sympathiques à développer.
  • tgbne
    tgbne
    Poirot http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2159288,2159304#msg-2159304

    Merci beaucoup, j'ai trouvé la réponse à partir de ce calcul (et ça devient beaucoup plus simple !). Par contre, je ne comprends pas l'étape pour avoir cette égalité. Pourriez-vous m'aider ou détailler le passage à cette égalité. Je vous remercie.
  • gerard0
    gerard0
    Attention, la formule
    $$\frac{1+x+\dots+x^{n-1}/(n-1)!}{1+x+\dots+x^n/n! } = 1 - \frac{1}{1+x+\dots+x^n/n!}$$

    est fausse ! Il manque un $x^n/n!$ au numérateur de la fraction.

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Bien vu Gérard, ça simplifie grandement la suite !
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