L'espace $H_0^1(]0,1[)$

Béranger · January 2021

Bonjour tout le monde et bonne année,

Dans le paragraphe consacré aux espaces de Hilbert du programme de l'agrégation externe, il est écrit : "Espace $H_0^1 \left(\left]0,1\right[\right)$ et application au problème de Dirichlet en dimension un." Connaissant peu le sujet, je me suis écrit un texte sur le problème variationnel associé, à partir de vieilles notes. Le style est lapidaire, c'est juste une trame. Ce que je trouve embêtant, c'est que j'utilise des résultats qui ne sont pas au programme. Quatre questions : ai-je écrit des bêtises ? Peut-on se passer du hors-programme pour atteindre le même résultat (théorème) ? A votre avis, qu'attend-on des candidats sur le sujet ?

Merci pour vos retours,
B

Béranger · January 2021

Bonjour,
Quelqu'une ou quelqu'un ?
Merci,
B

Borelline · January 2021

Je ne crois pas que la topologie faible soit au programme , c'est bien à cela que tu fais référence ? Je ne sais pas assez de connaissance sur cela pour vérifier ton document.

Pour contourner cela, tu peux appliquer le théorème de Riesz à $J$ pour montrer l'unicité d'un minimum qui est solution de l'équation aux conditions de Dirichlet. Cela est fait dans le Brézis par exemple.

Corto · January 2021

Je ne comprends pas ton argument "on a une injection continue dans un espace de Banach donc l'espace de départ est complet". L'espace des fonctions polynomiales sur $[0;1]$ muni du produit scalaire usuel ($\langle P,Q\rangle = \int_0^1 PQ \mathrm d \lambda$ ) s'injecte continûment dans le Banach qu'est $L^2([0;1])$ mais l'espace de départ n'est pas complet pour autant.

Sinon dans mes souvenirs il y a quelques années le jury disait que des développements sur $H^1_0$ étaient à réserver aux candidats les plus "solides". Si c'est toujours le cas on peut très bien s'en sortir avec une très bonne note sans parler d'espaces de Sobolev.

Héhéhé · January 2021

Je suis quand même surpris de ne pas voir le théorème de Lax-Milgram.

Chelito · January 2021

Pareil.

C'était central dans cours de master et ça tournait beaucoup autour de ce type d'équation:
- on teste contre des fonctions test
- on trouve une forme bilinéaire coercive
- on trouve la solution faible
- elle est unique et donc bla bla bla

En fait on trouvait ça très agréable.

L'espace $H_0^1(]0,1[)$

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