Développement limité (bijection réciproque)

tgbne
tgbne
dans Analyse
Bonjour, je bloque sur un développement limité. On me donne f(x) = x exp(x²). Je dois calculer le développement limité. J'ai réussi. Je dois ensuite justifier une bijection d'un intervalle. On note ensuite g la bijection réciproque avec un développement limité en 0 à l'ordre 4.

g(y) = a + by + cy2 + dy3 + ey4 + o(y4) avec a,b, c, d et e des réels

On me demande ensuite de calculer à l'ordre 4 la composée g rond f. J'injecte le développement limité de f trouvé dans y. Le problème c'est que j'obtiens un développement limité avec les réels a, b, c, d et e, et je bloque à les déterminer. Pourriez-vous m'aider ? Merci.

Réponses

  • noobey
    noobey
    Hello !

    Le dl à l'ordre 4 de gof en 0 est
    gof(x) = x

    Il faut donc "identifier" les coefficients que tu auras obtenus en a,b,c,d,e

    Je te montre pour trouver a et b, à toi de pousser l'ordre

    g(y) = a + by + o(y)

    Comme f(0) = 0 tu peux appliquer le DL en 0 de g et

    g(f(x)) = a + b(0 + x + o(x)) + o(x) = a + bx + o(x) = x

    D'où a = 0 et b = 1
  • tgbne
    tgbne
    je comprends que (gof)(x) = x (car fonctions réciproques). Cependant, je ne comprends pas pourquoi le développement limité à l'ordre 4 en 0 est

    gof(x) = x

    On est d'accord que je dois injecter le développement limité de f dans les y ? puis, par identification avec gof(x) = x, je trouve les coefficients a, b, c, d et e. Le problème, c'est que par identification, je trouve b=1 mais le b se trouve aussi comme le coefficient de devant le x3. Du coup, il y a un non sens. Je comprends toujours pas très bien.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Quel est le DL d'ordre 4 en 0 de x ?

    Cordialement.
  • tgbne
    tgbne
    le développement limité de x en 0 est :

    0 + 1*x + 0 ... + o(x)

    et donc : x + o(x).

    On peut alors écrire : (gof)(x) = x = x + o(x) (lorsque x tend vers 0)
    est correct ?

    Sinon, j'avais fait une erreur, mais je trouve bien b=1 par identification. J'aimerais une confirmation tout de même de mon raisonnement.
  • gerard0
    gerard0
    Non, on parle d'un développement limité à l'ordre 4 (puisque c'est la consigne de ton énoncé). Donc le DL(4) est
    $x=0+1\times x +0\times x^2+\times x^3+\times x^4+o(x^4).$
    Soit, de façon évidente
    $x=x+o(x^4)$, le $o(x^4)$ étant dans ce cas parfaitement connu (nul).

    Et ce DL est le produit des DL(4) de f et de g, l'un connu explicitement, l'autre par les coefficients inconnus a, b, c, d et e.

    Cordialement.
  • Chaurien
    Chaurien
    La fonction $f$ est impaire et elle a un développement limité très simple : $f(x)=x+x^3+o(x^4)$.
    La fonction réciproque $g $ est impaire aussi et a un développement limité de la forme: $g(x)=x+ax^3+o(x^4)$.
    En composant dans un sens ou dans l'autre, on trouve facilement le coefficient inconnu.
    On pourrait même aller à la précision $o(x^6)$.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Guego
    Guego
    On pourrait même aller à la précision o(x6).
    En s'aidant d'un logiciel de calcul formel, on peut aller aussi loin qu'on veut. Je ne donne pas le début pour ne pas donner la réponse toute faite à tgbne, mais les termes de degrés $5$ à $11$ sont $\dfrac{5}{2}x^5 - \dfrac{49}{6}x^7 + \dfrac{243}{8}x^9 - \dfrac{14641}{120}x^{11}$.
  • tgbne
    tgbne
    Je suis désolée mais je n'y arrive toujours pas. J'ai trouvé le développement limité de f en 0

    Ensuite, j'injecte le développement limité de f dans

    g(y) = a + by + cy2 + dy3 + ey4 + o(y4) avec a,b, c, d et e des réels

    je trouve donc un développement limité à l'ordre de 4, qui est le développement limité de gof à l'ordre 4 en 0. Puisque g et f sont réciproques, j'ai gof(x) = x. Or le développement limité de x à l'ordre 4 en 0 c'est

    x = x + o(x4)

    Par identification je trouve nécessairement b=1 et devant le x3 de g(f(x)), je trouve b+d. Et le réel d ne se trouve nul par ailleurs. Comment je fais pour le déterminer. J'ai donc nécessairement b+d=0 par identification avec x = x + o(x4) ? et donc d=-1 ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    tu manques quand même un peu de jugeote : "devant le x3 de g(f(x)), je trouve b+d" Et donc b+d = ????

    J'ai quand même un gros doute sur ce que tu as fait, car le coefficient devant x3 n'est pas b+d. Peux-tu donner le DL d'ordre 4 de gof(x) ?

    Cordialement.
  • tgbne
    tgbne
    pour le développement limité de f à l'ordre 4 en 0 je trouve

    f(x) = x + x3 + o(x3)

    Pour celui de g(f(x)) = a + bx + cx2 + (b+d)x3 + (2c+e)x4 + o(x4)
  • gerard0
    gerard0
    Attention : $f(x) = x + x^3 + o(x^3)$ n'est pas ce qu'il nous faut, puisqu'on veut l'ordre 4.

    Par contre, je ne trouvais pas ça, j'avais utilisé f(g(x)). C'est encore plus simple ainsi.

    Mais du coup, je ne vois pas où est ton problème ... Tu as deux DL de g(f(x)) au même ordre, donc c'est le même polynôme. L'identification te donne les coefficients.
  • tgbne
    tgbne
    donc on est d'accord pour dire que : a=0, b=1, c=0, d=-1 et e=0 vu que

    x = x + o(x4) lorsque x tend vers 0

    et g(f(x)) = a + bx + cx2 + (b+d)x3 + (2c+e)x4 + o(x4)
  • gerard0
    gerard0
    Ben ... C'est bien le résultat de ton calcul ...

    C'est bizarre, tu faisais le calcul tout en disant " je n'y arrive toujours pas" et "Et le réel d ne se trouve nul par ailleurs. Comment je fais pour le déterminer."

    En maths, on fait le calcul approprié, jusqu'au bout et on n'a plus besoin de l'avis des autres pour savoir si on a juste. C'est ce que font tes profs et tous les gens qui répondent ici. Ils ne savent pas par cœur les corrigés des milliards de milliards d'exercices possibles.

    Bon travail sur le reste de ta formation.
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