Partage: homotopisme
dans Analyse
J'avais déjà fait un fil du même genre, je recommence, mais ce n'est pas un doublon, mais plus un "appel à produits informatiques"
Le jour où j'ai un tilt qui s'est produit, qui m'a fait comprend ce qu'est le homotopisme, j'ai ouvert un fil, échangé avec Max, et puis la vie a continué (quand on comprend un truc en maths, on peut risque de s'en désintéresser car enmême temps, on mesure la difficulté technique et les tailles de chemins à parcourir enuite)
J'y reviens rapidement en précisant une demande en dimension 2 et en rappelant le truc qui permet de "tout comprendre" (car j'avais constaté que très peu de gens avaient réalisé ça)
1/ Etudier des groupes d'homotopie, c'est prendre l'hypercube $C_n$ de l'espace euclidien $\R^n$ pour UNE TELEVISION. (en fait un écran de télévision)
C'est très important, sinon le sujet parait difficile (il le reste ensuite, mais seulement en termes techniques)
2/ Les couleurs possibles forment l'ESPACE dont vous étudiez le groupe d'homotopie
3/ L'image (qui est une application $f$ qui à chaque pixel (élément de $C^n$ associe une COULEUR)) a le devoir d'être constante verte sur le bord. (On a choisi le vert par convention)
4/ Deux images sont homotopes quand on peut passer de l'une à l'autre continuement.
5/ A partir de $n:=2$ c'est commutatif pour des raisons évidentes et je retrouverai le lien de l'échange avec Max pour le mettre.
J'ouvre ce fil pour la raison suivante: du fait que l'espace étudié est l'ENSEMBLE DES COULEURS, ça implique une approche très particulière. A-t-on fait des programmes informatiques, pour $n:=2$ qui permettent de gérer ça en s'amusant? (Limitation du nombre de couleur pour bien représenter l'espace étudié, etc)
Je rappelle que pour $n:=1$, l'écran est le segment $[0,1]$ et que le symbole $\infty$ a un groupe d'homotopie égal au groupe libre à deux générateurs et ça se voit (avec un certain plaisir) concrètement, mais au delà ça commence à devenir "compliqué" (pour pratiquer l'euphémisme)
Par exemple, on voit que ça a tendance à vite devenir indécidable car on peut "inventer facilement" des topologies à mettre sur l'ensemble des couleurs qui vont donner n'importe quel groupe de présentation finie commandée par la clientèle.
Donc, voilà, la richesse de ce domaine est intéressante, rien qu'avec $n:=2$. Par exemple, j'aimerais bien voir un espace de couleur donnant l'un des célèbres groupes de présentation finie universel (ie dont le fait de savoir qui est égal à qui dedans premet de savoir quels énoncés sont des théorèmes de maths)
Mais il me semble que dans ce domaine, beaucoup repose sur la capacité informatique qu'on a à construire des espaces de couleur sous espaces de notre ensemble familiers de couleur (qui est vaguement de dim3 je crois).
Le jour où j'ai un tilt qui s'est produit, qui m'a fait comprend ce qu'est le homotopisme, j'ai ouvert un fil, échangé avec Max, et puis la vie a continué (quand on comprend un truc en maths, on peut risque de s'en désintéresser car enmême temps, on mesure la difficulté technique et les tailles de chemins à parcourir enuite)
J'y reviens rapidement en précisant une demande en dimension 2 et en rappelant le truc qui permet de "tout comprendre" (car j'avais constaté que très peu de gens avaient réalisé ça)
1/ Etudier des groupes d'homotopie, c'est prendre l'hypercube $C_n$ de l'espace euclidien $\R^n$ pour UNE TELEVISION. (en fait un écran de télévision)
C'est très important, sinon le sujet parait difficile (il le reste ensuite, mais seulement en termes techniques)
2/ Les couleurs possibles forment l'ESPACE dont vous étudiez le groupe d'homotopie
3/ L'image (qui est une application $f$ qui à chaque pixel (élément de $C^n$ associe une COULEUR)) a le devoir d'être constante verte sur le bord. (On a choisi le vert par convention)
4/ Deux images sont homotopes quand on peut passer de l'une à l'autre continuement.
5/ A partir de $n:=2$ c'est commutatif pour des raisons évidentes et je retrouverai le lien de l'échange avec Max pour le mettre.
J'ouvre ce fil pour la raison suivante: du fait que l'espace étudié est l'ENSEMBLE DES COULEURS, ça implique une approche très particulière. A-t-on fait des programmes informatiques, pour $n:=2$ qui permettent de gérer ça en s'amusant? (Limitation du nombre de couleur pour bien représenter l'espace étudié, etc)
Je rappelle que pour $n:=1$, l'écran est le segment $[0,1]$ et que le symbole $\infty$ a un groupe d'homotopie égal au groupe libre à deux générateurs et ça se voit (avec un certain plaisir) concrètement, mais au delà ça commence à devenir "compliqué" (pour pratiquer l'euphémisme)
Par exemple, on voit que ça a tendance à vite devenir indécidable car on peut "inventer facilement" des topologies à mettre sur l'ensemble des couleurs qui vont donner n'importe quel groupe de présentation finie commandée par la clientèle.
Donc, voilà, la richesse de ce domaine est intéressante, rien qu'avec $n:=2$. Par exemple, j'aimerais bien voir un espace de couleur donnant l'un des célèbres groupes de présentation finie universel (ie dont le fait de savoir qui est égal à qui dedans premet de savoir quels énoncés sont des théorèmes de maths)
Mais il me semble que dans ce domaine, beaucoup repose sur la capacité informatique qu'on a à construire des espaces de couleur sous espaces de notre ensemble familiers de couleur (qui est vaguement de dim3 je crois).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Du coup, il serait intéressant de voir deux images non homotopes, non?
Qui a la courage de les poster?
Christophe ? Jamais ! (:D
1/ Soit $E$ un espace topologique, $A$ une partie de $E$, $X$ un autre espace topologique et $p\in X$.
2/ On appelle $(E,A,X,p)$-image une application continue $f$ de $E$ dans $X$ telle que $\forall x\in A: f(x)=p$.
3/ On dit qu'on peut passer d'une image $x$ à une autre $y$ quand il $f$ continue de $[0,1]\times X$ dans $X$, telle que pour tout $u\in [0,1]: g_u:=[e\mapsto f(u,e)]$ est une $(E,A,X,p)$-image, avec de plus $g_0=x$ et $g_1=y$.
Tu peux penser au contexte du cinéma:
9.1/ $E$ est l'écran
9.2/ $A$ est une bordure de pixels de l'écran laissée dans un devoir de fixité
9.3/ $f$ est une film
9.4/ $X$ est l'espace topologique des couleurs
9.5/ Toutes les images doivent être "continues", le film aussi
Et bien tout ça, ça s'appelle "l'étude de l'homotopie".
Avec $E = [0,1]^2=:ecran$ tu obtiens la situation qui nous est tout à fait familière, puisque correspond bien à la notion d'écran, et dans ce cas, $A$ est le bord de l'écran, et tu peux même demander qu'un voisinage ouvert du bord soit $A$, ça ne change rien.
Je te laisse t'apercevoir qu'il y a un opération opportune de groupe facile dessus et pourquoi il commutatif pour $E:=[0,1]^n$ avec $n>1$.
Et ce que je demandais c'est de mettre en "réel" tout ça par logiciel (du fait, je me trompe peut-être, que la sphère $S_2$ est l'ensemble des couleurs claires, ie $blue^2+red^2+green^2 = 1$)