Intégrale$\int_\mathbb Re^{-\frac{t^2}{2}}dt$
Bonjour, je ne comprends pas les étapes pour le calcul de l'intégrale $\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt$.
Mon corrigé semble proposer deux voies, mais je ne comprends aucune des deux.
1:$$\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt=\sqrt{\int_\mathbb R e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx\,dy}=\sqrt {2\pi\int_0^\infty e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\,dr}=\sqrt {2\pi\int_0^\infty e^{-s}\;ds}=\sqrt {2\pi}.
$$ 2:$$\int_\mathbb R e^{-t^2\alpha}dt=\int_\mathbb R e^{-\frac{(t+\sqrt{2\alpha})^2}{2}}\frac{d\sqrt{2\alpha}t}{\sqrt{2\alpha}}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.
$$ Pour la 1: Je ne comprends pas la 1ère et la 2ème égalité.
Pour la 2: Je ne suis pas habitué avec cette notation, quel est le changement de variables effectué ici ?
Merci pour votre aide.
Mon corrigé semble proposer deux voies, mais je ne comprends aucune des deux.
1:$$\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt=\sqrt{\int_\mathbb R e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx\,dy}=\sqrt {2\pi\int_0^\infty e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\,dr}=\sqrt {2\pi\int_0^\infty e^{-s}\;ds}=\sqrt {2\pi}.
$$ 2:$$\int_\mathbb R e^{-t^2\alpha}dt=\int_\mathbb R e^{-\frac{(t+\sqrt{2\alpha})^2}{2}}\frac{d\sqrt{2\alpha}t}{\sqrt{2\alpha}}=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.
$$ Pour la 1: Je ne comprends pas la 1ère et la 2ème égalité.
Pour la 2: Je ne suis pas habitué avec cette notation, quel est le changement de variables effectué ici ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
pour le 1), pour tout $a \geq 0$, $a = \sqrt{a \times a}$ : une fois écrit avec $x$ comme variable muette et l'autre avec $y$ et une intégrale double. Puis changement en coordonnées polaires.
pour le 2), le changement de variable est, pour $\alpha >0$, $t \leadsto t \sqrt{2 \alpha}$. Puis utilisation du résultat 1). Typo dans l'argument de l'exponentielle.
Pour la 1 : Pour le membre de droite de la première égalité, il faut intégrer sur $\R^2$ et pas sur $\R$.
On la prouve en remarquant que $e^{-\frac{x^2+y^2}2}=e^{-\frac{x^2}2}e^{-\frac{y^2}2}$ et en utilisant le théorème de Fubini-Tonelli par exemple.
Pour la deuxième égalité, il faut passer en coordonnées polaires.
Pour la 2 : En écrivant $\dfrac{(t+\sqrt{2\alpha})^2}2=\left(\dfrac{t+\sqrt{2\alpha}}{\sqrt{2\alpha}}\right)^2\alpha$, tu devrais sûrement trouver comment faire ! ;-)
Il y a un autre calcul que je ne comprends pas, celui de $\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt$.
En effet, si j'applique la même méthode que pour le 1: Je me trouve avec $\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt=\sqrt{2\pi \int_0^\infty r^3e^{-r^2\alpha}dr}$ ce qui ne fait rien avancer, et si j'essaye par parties il y un problème au niveau des bornes infinies à cause du terme $t^2$.
Mon corrigé écrit la chose suivante (je crois qu'il fait appel au point 2) ).
$$\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt=-\frac{\partial }{\partial \alpha}\int_\mathbb R e^{-t^2\alpha}=-\frac{\partial }{\partial \alpha}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^3}}$$que je ne comprends pas non plus...
Edit: Corrigé une petite typo.
Edit 2: Vu que ce fil reprend, je corrige juste une erreur lorsque j'ai recopié l'intégrale $\int_\mathbb R t^2e^{-t^2\alpha}dt$.
Pour cette dernière intégrale, il s'agit de remarquer, comme le fait ton corrigé, que l'intégrande est obtenue (à une constante multiplicative près) en dérivant $t \mapsto e^{-t^2 \alpha}$ une fois par rapport à $\alpha$. On est donc dans une situation où l'on veut appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
$$\begin{align*}
\int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}{2}}\;dt&=\sqrt{\iint_{\mathbb R^2} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\;dx\,dy}=\sqrt{\iint_{[0,2 \pi] \times [0,+ \infty[} e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\,d \theta dr} \\
&=\sqrt {\int_0^{2\pi } d \theta \int_0^{+\infty} e^{-\frac{r^2}{2}}\;r\, dr}=\sqrt {2\pi\int_0^{+\infty} e^{-s}\;ds}=\sqrt {2\pi}.
\end{align*}
$$ Si l'intégrale est double, autant que ça se voie.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Et pour $\displaystyle \int_\mathbb R t^2 e^{-\alpha t^2}dt$, une simple intégration par parties suffit.
Le passage en polaires a été utile pour calculer l'intégrale de Gauss initiale $\displaystyle \int_\mathbb R e^{-\frac{t^2}2}dt$. C'est d'ailleurs ainsi que l'illustre Gauss a procédé. Il y a d'autres manières de calculer cette intégrale, heureusement car les coordonnées polaires et les intégrales doubles ont disparu des programmes de toutes les classes préparatoires.
Mais une fois que cette intégrale a été calculée, il est inutile de recourir à nouveau à ce procédé pour obtenir toutes les $\displaystyle I_n=\int_\mathbb R t^{2n} e^{-\alpha t^2}dt$, $n \in \mathbb N$, $\alpha \in \mathbb R_+^*$, une suite d'intégrations par parties suffisent.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Il ne s’agit pas d’une bijection à cause du $0$.
On s’en sort car la fonction est bornée en $(0;0)$ (car continue par exemple) en excluant un cercle de centre $O$ de rayon $\epsilon$.
Je parle d’un théorème qui fait intervenir le déterminent du jacobien et qui nécessite un $\mathcal C^1$-difféomorphisme.
Pour ma part, ça fait pas mal d'années que je milite pour l'utilisation de la formule d'inégration des fonctions radiales.
Voir par exemple le chapitre sur l'intégration de notre livre, chapitre téléchargeable ici:
http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-v2/
En version agrég interne, c'est possible sans intégrale de Lebesgue (voir pièce jointe).
Intégrale de Gauss bac C 1978 Liban
Solution ici
Solution plus détaillé ici
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf
Si on ne retire que $0$, on a bien une bijection (pour ne pas parler de la régularité), non ?
(-1;0) devient (1,$\pi$) par exemple.
Je parle de $\R \times \R $ privé de (0;0) et $\R_+^* \times [0;2\pi[$.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Ma preuve préférée est la preuve numérotée 2 que je trouve assez naturelle somme toute.
Même si ce n'est pas celle qui a les honneurs dans la plupart des cours d'analyse élémentaire.
Je trouve dans mes lectures que ce serait Laplace ou Poisson. Mais il m'est arrivé de consulter les œuvres de Gauss et je crois me souvenir d'être tombé par hasard sur un calcul de cette intégrale au moyen du passage en polaires dont nous avons parlé, mais sans trop de justifications. Je n'en ai pas conservé la référence exacte.
De nos jours, on peut consulter les 12 volumes des œuvres de Gauss sans sortir de chez soi, et j'ai fait hier une recherche dedans, fort malaisée, mais je n'ai pas retrouvé ce texte. Qu'en pensez-vous ?
Bon après-midi.
Fr. Ch.
Quelle est la démonstration qui te semble la plus présente dans les cours d'analyse élémentaire ?
Tu ne devines pas? D'ailleurs, je pense que ce n'est pas un hasard, dans le pdf que j'ai mis en lien son auteur l'a mise en item numéro 1. (calcul de $I^2$ par changement de variable en coordonnées polaires)
Je ne m'étais jamais posé la question de la démonstration la plus présente dans les cours d'analyse élémentaire, en fait ça dépend à quel public est destiné le cours .en question, à quelle époque, avec quel programme d’enseignement.
Dans les classes prépas d'aujourd'hui, la méthode par passage en polaires est interdite, car les coordonnées polaires sont hors-programme, de même que les intégrales doubles. Et même à l’époque où les taupins étaient autorisés à connaître ces belles choses, les intégrales doubles généralisées, sur un domaine non borné, n'étaient pas au programme non plus. Et il y a aussi à regretter le manque de rigueur sur le changement de variable, souligné à juste titre par aléa.
On pouvait s'en sortir en calculant $\int_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $ au moyen d'une intégrale sur un carré encadré entre deux quarts de disques.
$\bullet $ Pour tout réel $x$, soit : $F(x)=\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$.
$\bullet $ Pour tout réel $R>0$, soit la plaque carrée : $C(R)=\{(x,y)\in \mathbb R^2/0\leq x\leq R,0\leq y\leq R\}=[0,R] \times [0,R]$,
et soit le quart de disque : $Q(R)=\{(x,y) \in \mathbb R^2/x\geq 0,y\geq 0,x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\} $ (faire un dessin).
Soit $I(R)=\int \int_{C(R)}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}dxdy$ et $J(R)=\int
\int_{Q(R)}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}dxdy$.
$\bullet $ On a : $I(R)=\int_{0}^{R}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx\int_{0}^{R}e^{-%
\frac{y^{2}}{2}}dy=F(R)^{2}$.
$\bullet $ La description polaire du quart de disque $Q(R)$ est : $Q^{*}(R)=\{(\theta ,\rho ) \in \mathbb R^2/0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2},0\leq \rho \leq
R\}$, ce qui implique :
$J(R)=\int \int_{Q^{\ast }(R)}e^{-\frac{\rho ^{2}}{2}}\rho d\theta d\rho
=\int_{0}^{\pi /2}d\theta \int_{0}^{R}e^{-\frac{\rho ^{2}}{2}}\rho d\rho =%
\frac{\pi }{2}(1-e^{-\frac{R^{2}}{2}})$.
$\bullet $ On a : $Q(R)\subset C(R)\subset Q(R\sqrt{2})$ (faire un dessin), d'où : $J(R)\leq I(R)\leq J(R\sqrt{2})$, soit : $\frac{\pi }{2}(1-e^{-\frac{R^{2}}{2}%
})\leq F(R)^{2}\leq \frac{\pi }{2}(1-e^{-R^{2}})$, et :
$\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-e^{-\frac{R^{2}}{2}}}\leq F(R)\leq \sqrt{\frac{%
\pi }{2}}\sqrt{1-e^{-R^{2}}}$.
$\bullet $ En conclusion : $\int_{0}^{+\infty }e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=%
\underset{R\rightarrow +\infty }{\lim }F(R)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Cordialement.
J. Bass, Cours de mathématiques, Tome I, Masson et Cie, 1968, p. 627.
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