Convergence d'une suite

schelde
schelde
dans Analyse
Bonjour,

Soit $(u_n)_n$ une suite de réels strictement positifs telle que, pour tous $n,m \in \mathbb{N}, \: u_{n+m} \leq u_n u_m$
Je cherche à montrer que $(u_n^{1/n})_n$ converge vers $\inf_{n \geq 1}{u_n^{1/n}}$.

En notant $v_n = u_n^{1/n}$, j'ai d'abord pensé à montrer que $(v_n)_n$ était décroissante (comme elle est minorée par 0, cela aurait suffi à montrer le résultat), mais, n'y parvenant pas, j'ai voulu "vérifier" de manière expérimentale le résultat, et j'ai réussi à construire un contre-exemple où la suite n'est visiblement pas (toujours) décroissante, en prenant :
$u_1 > 1$ puis $u_n = \inf \left \{ u_k u_{n-k} \: | \: 1 \leq k \leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right \} - 1$ pour $n \geq 2$.
Par exemple, $u_1=12 \: ; \: u_2 = 143 \: ; \: u_3=1715$ vérifie les hypothèses mais donne $v_3 > v_2$.
Visiblement, ce n'est donc pas la bonne piste...
J'ai aussi tenté de montrer que $(v_n)_n$ était de Cauchy, mais je n'y suis pas parvenu non plus...

Du coup, je ne vois pas trop comment je pourrais faire.

Auriez-vous une idée ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Bonjour
    J'ai un truc à te proposer, je n'ai pas testé et c'est un peu moche, mais je suis plutôt confiant sur la capacité de la méthode à parvenir au résultat.

    Dans un premier temps, je te propose de montrer ça :
    $\forall n\in \mathbb{N},\ \forall \epsilon \in \mathbb{R}^*_+,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall k\in \mathbb{N},\ k\geq N\Rightarrow v_k \leq v_n+\epsilon$ (peut-être qu'il serait plus simple d'utiliser $v_n(1+\epsilon)$ plutôt que $v_n+\epsilon$ ).
    Je n'ai pas tenté le coup, mais il me semble qu'en nommant $M_n= \max \{u_k | k\in \mathbb{N}^*, k<n\}$ et en "pensant divisions euclidiennes", ça ne devrait pas être trop méchant.

    Dans un deuxième temps, tu nommes $w$ la suite définie par $\forall n\in \mathbb{N}^*, \ w_n=\min\{ v_k|k<n\}$, celle-là, tu sais qu'elle converge. Puis tu montres à l'aide de l'autre formule que $v$ converge vers la même limite que $w$ "en utilisant des $\frac{\epsilon}{2}$" (je suppose que tu vois ce que je veux dire par là).
  • Chaurien
    Chaurien
    Passer au log, suite sous-additive.
  • Keynes
    Keynes
    On montre facilement que $ \ln(u_{nm})\leq n\ln(u_{m})$.
    Posons $ \ell=\inf_{n\geq 1}\frac{u_{n}}{n}
    $
    On sait que $\forall \epsilon>0,\ \exists m,\ \ell\leq \frac{u_{m}}{m} \leq \ell+\epsilon $.
    $ \forall n\geq m$ on effectue la division euclidienne de $n$ par $m$.
    $ ln(u_{n})=\ln(u_{qm+r})\leq q\ln(u_{m})+\ln(u_{r})$ avec $0\leq r<m$.
    $$\frac{u_{n}}{n} \leq \frac{n-r}{nm}\ln(u_{m})+\frac{\ln(u_{r})}{n}
    $$ Avec ceci je pense que c'est gagné.
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