Calcul de dérivée seconde et tenseur
Bonjour, je travaille sur une preuve et les auteurs de cette preuve passent un peu vite sur le point que voici.
Soit $\Phi : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+$ la fonction définie par
$$
\Phi (x,y,t) = \frac{\Vert x-y \Vert ^4}{ 4 \varepsilon } + \lambda t,
$$ où $\varepsilon , \lambda > 0$ et $\Vert \cdot \Vert$ désigne la norme euclidienne.
Il est sous-entendu que la "matrice des dérivées partielles secondes" (en tout cas c'est ce qui s'y apparente d'après un autre document) est donnée par
$$
B = \frac{\Vert x-y \Vert^2}{\varepsilon } I_2 + \frac{2}{\varepsilon }(x-y) \otimes (x-y),
$$ où $I_2$ est la matrice identité.
Voilà, j'ai du mal à voir comment on obtient ce résultat. Merci d'avance à toute personne qui voudra m'aider.
PS : la preuve en question provient de l'article "a geometric model for active contours", th. 3.1. p.11 (1993), et l'autre document dont je parle est le "User's guide to viscosity solutions" (ils sont dispo sur internet).
Soit $\Phi : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+$ la fonction définie par
$$
\Phi (x,y,t) = \frac{\Vert x-y \Vert ^4}{ 4 \varepsilon } + \lambda t,
$$ où $\varepsilon , \lambda > 0$ et $\Vert \cdot \Vert$ désigne la norme euclidienne.
Il est sous-entendu que la "matrice des dérivées partielles secondes" (en tout cas c'est ce qui s'y apparente d'après un autre document) est donnée par
$$
B = \frac{\Vert x-y \Vert^2}{\varepsilon } I_2 + \frac{2}{\varepsilon }(x-y) \otimes (x-y),
$$ où $I_2$ est la matrice identité.
Voilà, j'ai du mal à voir comment on obtient ce résultat. Merci d'avance à toute personne qui voudra m'aider.
PS : la preuve en question provient de l'article "a geometric model for active contours", th. 3.1. p.11 (1993), et l'autre document dont je parle est le "User's guide to viscosity solutions" (ils sont dispo sur internet).
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Réponses
Si on parle bien de la Hessienne, qui s'écrit en bloc $\mathrm{Hess}(\Phi )=\begin{bmatrix}
B & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}$ (en ordonnant $(x, y, t)$), alors on doit pouvoir calculer les quelques de la matrice $4 \times 4$ $B$, de façon un peu brutale, non ?
Ta formule contient une typo, c'est $\displaystyle B = {||x-y||^2 \over \varepsilon} I_2 + \cdots$
Pour le démontrer, avec des notations à deviner, On écrit $\displaystyle x_1 = (a\, b)^T$ et on calcule brutalement :
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_t(x,y,t) = \lambda$ puis $\displaystyle \Phi_{tt} (x,y,t) = 0$
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_a(x,y,t)=\partial_a ( {((a-y_1)^2 + (b-y_2)^2)^2 \over 4 \varepsilon} + \lambda t ) = {(a-y_1)^2 + (b-y_2)^2 \over \varepsilon } (a-y_1).$
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_{aa}(x,y,t)= {(a-y_1)^2 + (b-y_2)^2 \over \varepsilon } + {2 \over \varepsilon }(a-y_1)(a-y_1).$
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_{ab}(x,y,t)= {2 \over \varepsilon }(b-y_2)(a-y_1).$
Par symétrie, les dérivées partielles par rapport $x$ et $y$ sont égales.
La matrice des dérivées partielles secondes est alors $\displaystyle B = \begin{pmatrix} {||x-y||^2 \over \varepsilon} + {2 \over \varepsilon} (a-y_1)(a-y_1) & {2 \over \varepsilon}(a-y_1)(b-y_2) \\ {2 \over \varepsilon }(b-y_2)(a-y_1) & {||x-y||^2 \over \varepsilon} + {2 \over \varepsilon} (b-y_2)(b-y_2) \end{pmatrix} = {||x-y||^2 \over \varepsilon} I_2 + {2 \over \varepsilon } (x-y) \otimes (x-y)$ qui est bien le résultat proposé dans le livre.
Oui.