Calcul de dérivée seconde et tenseur

Bonjour,

Ta formule contient une typo, c'est $\displaystyle B = {||x-y||^2 \over \varepsilon} I_2 + \cdots$

Pour le démontrer, avec des notations à deviner, On écrit $\displaystyle x_1 = (a\, b)^T$ et on calcule brutalement :
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_t(x,y,t) = \lambda$ puis $\displaystyle \Phi_{tt} (x,y,t) = 0$
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_a(x,y,t)=\partial_a ( {((a-y_1)^2 + (b-y_2)^2)^2 \over 4 \varepsilon} + \lambda t ) = {(a-y_1)^2 + (b-y_2)^2 \over \varepsilon } (a-y_1).$
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_{aa}(x,y,t)= {(a-y_1)^2 + (b-y_2)^2 \over \varepsilon } + {2 \over \varepsilon }(a-y_1)(a-y_1).$
$\bullet$ $\displaystyle \Phi_{ab}(x,y,t)= {2 \over \varepsilon }(b-y_2)(a-y_1).$

Par symétrie, les dérivées partielles par rapport $x$ et $y$ sont égales.

La matrice des dérivées partielles secondes est alors $\displaystyle B = \begin{pmatrix} {||x-y||^2 \over \varepsilon} + {2 \over \varepsilon} (a-y_1)(a-y_1) & {2 \over \varepsilon}(a-y_1)(b-y_2) \\ {2 \over \varepsilon }(b-y_2)(a-y_1) & {||x-y||^2 \over \varepsilon} + {2 \over \varepsilon} (b-y_2)(b-y_2) \end{pmatrix} = {||x-y||^2 \over \varepsilon} I_2 + {2 \over \varepsilon } (x-y) \otimes (x-y)$ qui est bien le résultat proposé dans le livre.

Bonjour,

Oui.