Convergence uniforme

ExpectTali · January 2021

Bonjour, j'aimerais savoir si la démonstration que je propose est correcte, il s'agit de démontrer la convergence uniforme de la suite de fonctions : $$ f_n(x) : \begin{cases} (1-x/n)^n & x \in [0,n] ,\\ 0 &x \geq n \end{cases} $$ vers la fonction $x \mapsto e^{-x}$ sur $\mathbb{R^{+}}$

Voici ma "preuve".
Soit $x \in \mathbb{R^{+}}$ fixé et soit $\epsilon > 0$ alors il existe $N \in \mathbb{N}$ assez grand tel que $\forall n \in \mathbb{N},\ n \geq N$ on ait :
$$
\left | (1-x/n)^n -e^{-x} \right | \leq \epsilon.

$$ De même il existe $N'$ assez grand tel que $|e^{-n}| \leq \epsilon$ pour $n \geq N'$, l'idée c'est de prendre $N'' = \max(N,N')$ et de dire que pour tout $x\in\mathbb{R^{+}}$ on ait :
si $x < n$ la première égalité et on est toujours en dessous de $\epsilon$,
et si $x \geq n$ pour $n$ plus grand que $N''$ toujours, on ait $f_n$ qui vaut $0$ mais puisque $x > n$ par stricte monotonie et continuité de $x \mapsto e^{-x}$ alors on soit toujours en dessous de $\epsilon$ et que donc on pourrait alors "passer au sup" pour $|f_n -f|$.

Math Coss · January 2021

Eh bien, non, évidemment ! Non seulement tu ne démontres rien mais même l'énoncé que tu ne démontres pas n'est pas celui qu'il faut.

Il faut fixer $\varepsilon>0$ et trouver $N$ tel que pour tout $x$ et tout $n\ge N$, $|f_n(x)-\exp(x)|\le\varepsilon$.

Voici ce que tu fais. Tu fixes $x$ et $\varepsilon$. Tu affirmes qu'il existe un $N$ tel que pour $n\ge N$, on ait $|f_n(x)-\exp(x)|\le\varepsilon$. Cela signifie que le $N$ dont l'existence est invoquée peut dépendre de $x$. Pour montrer la convergence uniforme, il faut trouver un $N$ qui ne dépend pas de $x$ – le même $N$ doit fonctionner pour tous les $x$.

AlainLyon · January 2021

Bonjour $\vert f_n(x)-e^x\vert>e^n$ si $x>n$

$\vert f_n(x)-e^x\vert$ n'est pas borné, il n'y a pas de convergence uniforme!

gebrane · January 2021

Bonjour AlainLyon

Il semble que tu as repris la même typo que MC que je salue ( à changer exp(x) par exp(-x)). De ce fait; ton raisonnement ne tient plus.
Il semble que le bon énoncé ( MC l'a dit furtivement) que la cv est uniforme sur tout segment ( qui découle de Dini ( cv simple simple et monotonie))
Je ne trouve pas de contre exemple avec les suites que la cv n'est pas uniforme sur $\R^+$.

LOU16 · January 2021

Bonjour Gebrane,
J'espère que le virus n'est plus pour toi qu'un mauvais souvenir qui se dissipe peu à peu..

La convergence de $(f_n)_n$ vers $f: x\mapsto \mathrm e^{-x}$ est bien uniforme sur $\R^+.$
Pour tout $n$ dans $\N^*$, notons $g_n = f -f_n,\:\:\:y_n = \max\Big\{g_n(x) \mid x \in [0;n]\Big \} .\quad g_n$ est positive sur $\R^+.$
$ y_n$ est atteint en un point $x_n \in ]0;n[$ tel que $g'_n(x_n) =0, $ c'est à dire $\mathrm e^{-x_n} = \left(1-\dfrac {x_n}n \right)^{n-1}$ de sorte que: $\:\:0\leqslant y_n = \dfrac {x_n\mathrm e^{-x_n}}n \leqslant \dfrac {\mathrm e^{-1}}n\leqslant \dfrac 1 n.$
$$\forall x \in \R^+,\quad 0\leqslant g_n(x) \leqslant \max \left( \dfrac 1n ; \mathrm e^{-n}\right) = \dfrac 1n.\qquad \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \|g_n\|_{\infty} = 0.$$

gebrane · January 2021

Merci Lou16 d'avoir dissipé le doute sur cette convergence uniforme sur $\R^+$. Je viens de comprendre que la c.u de la suite de fonctions $f_n(x):= (1-\frac{x}{n})^n \mathbb{1}_{[0,n]}$ est assuré par la présence de l'indicatrice $\mathbb{1}_{[0,n]}$ . Mais avec la suite de fonctions $g_n(x):= (1-\frac{x}{n})^n $ tout court, on a un contre-exemple avec la suite $(g_n (2n)-e^{-2n})_n$

AlainLyon · January 2021

Lou16 n'étudie $f_n(x)-e^x$ que sur l'intervalle $[0,n]$ alors que $f_n$ est définie sur tout $\mathbb{R}$! Il y a convergence uniforme de la suite $f_n$ de fonctions continues sur tous les compacts (le théorème de Dini est valable pour toute suite monotone de fonctions continues sur un compact) mais pas sur $\mathbb{R}$ qui n'est pas compact!

LOU16 · January 2021

Alain
J'avais déjà observé que ni $\R$ ni $\R^+$ n'étaient des compacts , mais je te remercie de me le rappeler avec ces ravissants caractères gras pleins de didactisme, ainsi que de m'indiquer avec un certain à-propos que le savant théorème de Dini que je n'utilise pas eût été ici inopérant, si l'idée saugrenue d'y recourir m'avait traversé l'esprit.
Je pense néanmoins avoir établi (clairement me semble-t-il ) que pour tout $x\in \R^+,\:\: 0\leqslant \mathrm e^{-x} - f_n(x) \leqslant \dfrac 1n$ , un encadrement qui assure bien la convergence uniforme sur $\R^+$ de $(f_n)_n$ vers $x\mapsto \mathrm e^{-x}$, qui est le sujet évoqué par l'initiateur de ce fil.

Il n'y a bien entendu pas de "convergence uniforme sur $\R$", (de toutes façons $f_n$ n'est pas définie sur $\R$) mais de cela, il n'a, à aucun moment, été question.

Convergence uniforme

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