Fourier

supp

Calli écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2163144,2163176#msg-2163176
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

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Si je ne m'abuse, l'argument donné est insuffisant : certes, la famille résultante sera libre et "génératrice" (au sens topologique usuel : l'espace engendré est dense). Mais on a quand même besoin d'avoir les termes orthogonaux, et normés !
On peut en fait montrer que si $T : H \rightarrow H'$ et si $(e_n)$ est une base hilbertienne de $H$, alors $(Te_n)$ est une base hilbertienne de $H'$ si et seulement si $T$ est une isométrie.

Voici un argument "contre" le point de vue selon lequel la transformée de Fourier est un "changement de base". Je préfère le point de vue selon lequel "la transformée de Fourier est une dualité".

Soit $G$ un groupe topologique muni d'une mesure $\mu$ non nulle invariante par translations. On note $\hat{G}$ l'ensemble des morphismes continus de $G$ dans $U$ ($U$ désigne le groupe topologique des complexes de module $1$). C'est un groupe abélien, et on le munit de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, ce qui en fait un groupe topologique. On suppose que $\hat{G}$ est muni d'une mesure $\nu$ non nulle invariante par translations.

Soit l'application partiellement définie $\mathcal{F} : L^2(G,\mu) \rightarrow L^2(\hat{G},\nu)$ qui à $f$ associe $\chi \mapsto \int_G f(g)\overline{\chi(g)}d\nu(g)$. On l'appelle "transformée de Fourier sur $G$".

Il me semble que quand $G$ est localement compact et abélien, c'est une isométrie linéaire entre espaces de Hilbert (enfin, la formule ci-dessus se prolonge à une isométrie blabla) et que ça s'appelle le théorème de Plancherel.

Et, toujours si $G$ est localement compact et abélien, $\hat{\hat{G}}$ s'identifie naturellement à $G$ via l'application préférée de Christophe : $x\mapsto (\chi \mapsto \chi(x))$ et que ça s'appelle la dualité de Pontriaguine.

Si $G$ est compact et abélien, il n'y a qu'un seul choix possible de $\mu$ (à une constante multiplicative près) et les éléments de $\hat{G}$ sont des éléments de $L^2(G,\mu)$ et forment une base hilbertienne de $L^2(G,\mu)$. De plus, $\hat{G}$ est discret et le seul choix possible de $\nu$ est (un multiple de) la mesure de comptage.
Exemple : si $G = U$, alors $\mu$ est la mesure de Lebesgue sur le cercle, $\hat{G} = \{x \mapsto x^n \ \vert \ n \in \mathbb{Z}\} = \{t \mapsto e^{i2\pi nt} \ \vert \ n \in \mathbb{Z}\}$ (suivant qu'on préfère définir les fonctions sur $U$ "en fonction du complexe de module $1$ ou de son argument"). On identifie donc $\hat{G}$ à $\mathbb{Z}$, et $\nu$ est forcément un multiple de la mesure de comptage, et $\mathcal{F}$ est donc l'application qui à une fonction associe la suite de ses coefficients de Fourier.

Si $G$ est abélien mais pas compact mais juste localement compact, il risque d'y avoir des problèmes (parce que $\mu$ n'est plus une mesure finie) mais ça se résout.
Exemple : si $G = \mathbb{R}$, alors $\mu$ est forcément un multiple de la mesure de Lebesgue. On a que $\hat{G} = \{t \mapsto e^{i2\pi \xi t} \ \vert \ \xi \in \mathbb{R}\}$ qu'on identifie à $\mathbb{R}$. Dans ce cas-là, $\mathcal{F}$ associe à toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs complexes sa vraie de vraie transformée de Fourier.

Si $G$ est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, il est isomorphe à $\hat{G}$ (mais pas canoniquement) et $\mathcal{F}$, dans ce cas-ci, s'appelle la "transformée de Fourier discrète".

J'ai pas compris ce que tu veux pour $\mathbb{R}[X]/(X^2)$. Pour le fait d'être malotru, ben...
1) Si on avait décidé de prendre pour $G$ autre chose que $\mathbb{R}$, alors $G$ ne serait pas du tout, en général, isomorphe à $\hat{G}$ (qui s'appelle le "dual" de $G$, j'avais oublié de le dire).
2) Parmi tous les $G$ abéliens localement compacts, $\mathbb{R}$ est particulier, car il est isomorphe à son dual, et en plus, l'isomorphisme est plutôt gentil : c'est $\xi \in \mathbb{R} \mapsto (x \mapsto e^{i2\pi \xi t})$.

Bref, d'après 1), c'est très malotru, mais d'après 2), c'est pardonnable.

G.A. Ok la transformation de Fourier est une dualité, mais puisqu'on peut utiliser l'algèbre linéaire dans le cas de $\R$ ce serait bête de s'en priver :-P

Je poursuis un peu le message de side sur le choix des vecteurs propres de la transformée de Fourier $F$. On sait que $F^4-1=0$ et qu'elle est linéaire donc ses valeurs propres sont (contenues dans l'ensemble) $\{\pm 1,\pm i \}$. Étant donné une fonction $f \in L^2$ non nulle on peut décomposer $f = f_1 + f_i +f_{-1}+ f_{-i}$ où
\[
f_1 = \frac{1}{4}(f + F(f) + F^2(f) + F^3(f)), \quad f_i = \frac{1}{4} (f -iF(f) -F^2(f) +iF^3(f) ) \quad \text{etc.}
\]
Les fonctions $f_a$ sont des vecteurs propres de $F$ associés à la valeur propre $a$. Ensuite comme on sait que $F$ est une isométrie on en déduit immédiatement que $f_a$ et $f_b$ sont orthogonaux si $a\neq b$. Pour construire une base hilbertienne de vecteurs propres de $F$ il suffit donc de prendre ta base préférée de $L^2(\R)$, de décomposer chaque élément $f$ de ta base en $f_{\pm 1}$ et $f_{\pm i}$ pour obtenir des familles génératrices des quatre espaces propres de $F$. On obtient alors des bases de ces espaces propres en appliquant Gram-Schmidt séparément pour chaque espace propre et voilà.

Au passage $x \mapsto e^{inx}$ ne peut pas être un vecteur propre puisque pas dans $L^2$. Si tu étends un peu plus l'espace (en passant aux distributions tempérées) ce n'est toujours pas un vecteur propre puisque sa transformée de Fourier sera une masse de Dirac.

GA a écrit:

Je voulais dire que si on souhaite fermer les yeux, réfléchir profondément à la nature de l'univers, de pourquoi les choses marchent comme ça, etc. ça peut être bien de voir que $\R$ est un peu magique, quand on le regarde dans un certain cadre.

Ah mais je suis d'accord avec ce que tu dis hein ! Je connais le point de vue de la transformation de Fourier sur un groupe mais je ne l'ai jamais utilisé ou étudié en détail. Ça doit être ma déformation professionnelle personnelle ;-)

Side : Le nom que tu cherches est l'espace de Bargmann, c'est par exemple traité dans le livre de B. Candelpergher Calcul intégral.