Intégrale curviligne

Bonjour,
Soit $\mu\in [-1,1],\; f:\mathbb C\setminus i\pi\mathbb Z\to \mathbb C,\; f(z)=\dfrac{e^{\mu z}}{z^2\sinh(z)}$.
Soit le chemin $\gamma:\mathbb R\to \mathbb C,\;\gamma(t)=\begin{cases}
t & \text{ si } |t|\geq 1 \\
e^{i\frac{\pi}{2}(1-t)} & \text{ si } |t|\leq 1 .
\end{cases}$
Je souhaite calculer calculer l'intégrale curviligne $\displaystyle \int_\gamma f(z)dz:=\int_\mathbb R f(\gamma(t))\gamma'(t)dt$.

Mon corrigé prend une figure de carré tel que le côté bas admet le petit demi-cercle $e^{i\frac{\pi}{2}(1-t)}$ de notre chemin $\gamma$ et dont les côtés valent $b_n=i\pi(n+\frac{1}{2})$ (voir la pièce jointe).
On a $(0)=(1)+(2)$ (voir pièce jointe)

Mon corrigé est un peu incompréhensible, il dit que :
$\int_1 \to \int_\gamma$ pour $n\to \infty$ (ceci est clair)
$\int_2:\underbrace{\dfrac{2e^{\mu z}}{e^z-e^{-z}}}_{\text{négligeable }|e^z|\geq |e^{\mu z}|\; (\mu\leq 1)}$ borné : $\frac{1}{z^2}\sim \frac{1}{n^2}$ (je n'ai pas compris...).
$\int_4:\underbrace{\dfrac{2e^{\mu z}}{e^z-e^{-z}}}_{\text{grand }} \sim \frac{1}{n^2}$ (Idem)
$\int_3:\left |\dfrac{2e^{\mu (i\pi(n+\frac{1}{2})+t)}}{e^{i\pi(n+\frac{1}{2})+t}-e^{-i\pi(n+\frac{1}{2})-t}} \right |=\underbrace{\dfrac{2e^{\mu t}}{e^t+e^{-t}}}_{\text{borne}}$ (Idem)

D'après mon corrigé on a alors $(0)=(1)+(2)=(1)+o(\frac{1}{n})\to (1)$

Finalement, on calcule $(0)$ avec les résidus, cette partie ne me pose pas de problème avec mon corrigé, on trouve alors la valeur de $(1)$ voulue.
Merci pour votre aide.