Inégalité sur les racines $\alpha^{ièmes}$

redmann
redmann
dans Analyse
Bonjour à tous et à toutes,

Il y a quelques jours, je suis tombé sur une inégalité très intéressante que je ne connaissais pas du tout :

$\forall x,y \in \mathbb{R} ,\ \big|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}\big| \leq \sqrt{|x-y|}$

Je me suis convaincu de la véracité de cette inégalité à coup d'équivalences (ce n'est pas fameux ...) mais je n'ai toujours pas saisi la subtilité du pourquoi du comment cette inégalité est vraie ... Dernièrement je suis tombé sur un exercice dans lequel il me serait très utile de généraliser cette inégalité aux racines $\alpha^{ièmes}$. J'ai une fonction $a(x)=|x|^\alpha$ avec $\alpha>1/2$ et je veux majorer cette fonction par une fonction $h$ de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$ qui vérifie :

- $h$ strictement croissante ;
- $h(0)=0$ et $\forall \epsilon>0 ,\ \int_0^\epsilon \frac{1}{h^2(x)}dx=+\infty$ ;
- $\forall x,y \in \mathbb{R} ,\ \big||x|^\alpha-|y|^\alpha\big| \leq h(|x-y|)$.

Coup de bol, ma fonction $a$ coche tous les critères (sauf le 3, d'où mon topic) ! J'ai pensé à appliquer des petites astuces comme Jensen ou utiliser la convexité mais ça ne marche pas. Il y a des signes moins qui se baladent et selon la valeur de $\alpha$ ce n'est pas toujours convexe.

Avez-vous une explication pour l'inégalité ? Ou une fonction $h$ le cas échéant ? Merci !

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    Une extension de ton inégalité avec les racines carrées est la suivante.

    Soient $x,y,p,q \in \mathbb{R}$ avec $1 < p < 2$ et $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ (on dit que $p$ et $q$ sont conjugués). Alors
    \begin{align*}
    \left| |x|^{q/p} \textrm{sgn} \, x - |y|^{q/p} \textrm{sgn} \, y \right| &\leqslant \max \left(2,q/p \right) \left| x-y \right| \Big( |x|^{\tfrac{q}{p}-1} + |y|^{\tfrac{q}{p}-1} \Big), \\
    \left| |x|^{p/q} \textrm{sgn} \, x - |y|^{p/q} \textrm{sgn} \, y \right| &\leqslant 2 \left| x-y \right|^{1/q} \Big( |x|^{\tfrac{p}{q}-1} + |y|^{\tfrac{p}{q}-1} \Big).
    \end{align*} À noter qu'avec les hypothèses sur $p$ et $q$, on a $\frac{q}{p} > 1$ et et $0 < \frac{p}{q} < 1$.

    Référence.
    E. S. Citlanadze, On the variational theory of a class of non-linear operators in the space $L^p$ ($p > 1$), Doklady Akad. Nauk. SSSR 71 (1950), 441--444.
  • redmann
    redmann
    Bonjour !

    Merci pour la réponse, je ne m'attendais vraiment pas à des expressions aussi ... Ignobles à retenir ! Mais je n'arrive pas à retrouver l'inégalité de la racine avec ces deux expressions. En plus ici $p$ ne peut pas être égal à 2. Je ne comprends pas vraiment ::o
  • noix de totos
    noix de totos
    Il ne s'agit pas d'une généralisation, mais d'une extension ! Effectivement, ton inégalité n'est pas contenue dans celle-ci.
  • gebrane
    gebrane
    Bonsoir à tous (je reprends les maths :-P)
    Ton $h$ convient mais avec $0<\alpha \leq 1$ : d'une manière plus précise on démontre que $$\forall x,y \in \mathbb{R} ,\quad \big||x|^\alpha-|y|^\alpha\big| \leq |x-y|^\alpha.
    $$ Cela vient de l’inégalité $$|x+y|^\alpha \le |x|^\alpha +|y|^\alpha,\qquad \text{pour $x,y\in\C$ et $0< \alpha \leq1$}.$$
    Le 😄 Farceur


  • Dom
    Dom
    Bienvenue gebrane.
    Ravi de te revoir ici !
  • gebrane
    gebrane
    Merci Dom:-)
    Le 😄 Farceur


  • redmann
    redmann
    Merci pour les infos ! Je retiens.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

Congru +6 Invités