Intuition dans l'équation des ondes
Bonjour,
J'essaie de comprendre intuitivement la formule de résolution de l'équation des ondes $\partial_t^2 u=c^2\Delta u$ en dimension 3 pour des condition initiales $u(t=0,\cdot) = g$ et $\partial_t u(t=0,\cdot) =h$.
En dimension 1, ça va. La formule est $$\begin{eqnarray*}
u(t,x)& = & \frac12(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac12\int_{x-ct}^{x+ct} h(y)\,{\rm d}y\\
& =& \frac12(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac12\int_0^t h(x-ct+cs)\,{\rm d}s + \frac12\int_0^t h(x+ct-cs)\,{\rm d}s
\end{eqnarray*}$$ et je me l'explique en disant que ce qu'il y a en $(x,t)$ c'est ce qu'il y avait $t$ secondes plus tôt à distance $ct$ de $x$, plus la dérivée temporelle apportée par l'onde (provenant des deux côtés) qui est passée en $x$ dans l'intervalle de temps $[0,t]$. Et à chaque fois, on divise par 2 car, comme l'onde part des deux côtés, on n'en voit que la moitié.
En dimension 3, en revanche c'est : $$u(t,x) = \frac1{4 \pi (ct)^2} \int_{\partial B(x,ct)} (g(y)+\nabla g(y)\cdot(y-x)+t\,h(y))\, {\rm d}S(y).$$ Je comprends bien qu'on ait la moyenne de $g$ sur $\partial B(x,ct)$, mais je n'arrive pas à comprendre la présence de $\nabla g(y)\cdot(y-x)+t\,h(y)$. Avez-vous une explication intuitive ?
Merci d'avance
J'essaie de comprendre intuitivement la formule de résolution de l'équation des ondes $\partial_t^2 u=c^2\Delta u$ en dimension 3 pour des condition initiales $u(t=0,\cdot) = g$ et $\partial_t u(t=0,\cdot) =h$.
En dimension 1, ça va. La formule est $$\begin{eqnarray*}
u(t,x)& = & \frac12(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac12\int_{x-ct}^{x+ct} h(y)\,{\rm d}y\\
& =& \frac12(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac12\int_0^t h(x-ct+cs)\,{\rm d}s + \frac12\int_0^t h(x+ct-cs)\,{\rm d}s
\end{eqnarray*}$$ et je me l'explique en disant que ce qu'il y a en $(x,t)$ c'est ce qu'il y avait $t$ secondes plus tôt à distance $ct$ de $x$, plus la dérivée temporelle apportée par l'onde (provenant des deux côtés) qui est passée en $x$ dans l'intervalle de temps $[0,t]$. Et à chaque fois, on divise par 2 car, comme l'onde part des deux côtés, on n'en voit que la moitié.
En dimension 3, en revanche c'est : $$u(t,x) = \frac1{4 \pi (ct)^2} \int_{\partial B(x,ct)} (g(y)+\nabla g(y)\cdot(y-x)+t\,h(y))\, {\rm d}S(y).$$ Je comprends bien qu'on ait la moyenne de $g$ sur $\partial B(x,ct)$, mais je n'arrive pas à comprendre la présence de $\nabla g(y)\cdot(y-x)+t\,h(y)$. Avez-vous une explication intuitive ?
Merci d'avance
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Réponses
\[
u(t,x) = \frac1{4 \pi (ct)^2} \int_{\partial B(x,ct)} (g(y)+t\nabla g(y)\cdot(y-x)+t\,h(y))\, {\rm d}S(y).
\] À titre personnel je préfère l'écriture
\[
u(t,x) = \partial_t \bigg(t -\mkern-20mu\int_{\partial B(x,ct)} g(y) \mathrm d S (y) \bigg) + t-\mkern-20mu\int_{\partial B(x,ct)} h(y) \mathrm d S (y)
\] qui se généralise mieux mais ça n'engage que moi.
J'ai un peu cherché une explication intuitive de cette formule mais je n'ai rien trouvé de vraiment convainquant, uniquement des choses justifiées a posteriori. D'un autre côté je ne suis pas vraiment convaincu par l'explication intuitive que tu donnes en dimension 1.
En tout cas le facteur $t$ semble ne provenir que du fait de la dimension de l'espace.
Par contre je ne pense pas qu'il y ait de $t$ manquant car sinon ça coince niveau analyse dimensionnelle.
Si comme moi on veut voir un $t$ là ou il n'y en a pas on peut par exemple réécrire $\nabla g(y) \cdot (y-x) = ct\partial_n g(y)$.