Prolongement fonction uniformément continue

Bonjour à tous.
Ci-joint, un exercice du livre "les maths en tête - analyse" de Xavier Gourdon 2ème édition.
Exercice 4 p 23 question 1)b), il s'agit de prolonger une fonction uniformément continue, définie sur A un ensemble dense d'un espace métrique (E,d), vers un espace métrique (F,$\delta$) qui est complet.
"J'arrive" à démontrer l'uniforme continuité sans me servir de la complétude ...
Quelqu'un peut-il me dire si ma démonstration est correcte et si non, ou sont les erreurs svp ?
Je vous remercie.
Nicolas.