arctan2+arctan4+arctan6+arctan9=2Pi

Bonjour,

La première égalité est fausse.

On peut en trouver beaucoup comme ça. Par exemple $\arctan1+\arctan3+\arctan4+\arctan7+\arctan13=2\pi$.

Je doute que la première $\arctan2+\arctan4+\arctan6+\arctan9$ a une forme "close".

Merci cher ami Chaurien pour ton gentil mots . Mais wolphi partage le même avis que moi https://www.wolframalpha.com/input/?i=\arctan2+\arctan4+\arctan6+\arctan9

Bonsoir JLT, wolfram donne ce résultat mais ce n'est pas pour autant une forme "close" à cause de cette $\arctan\frac{423}{281}$

Remarque. Le lemme que j'ai utilisé peut s'énoncer sous une forme un peu plus générale :
si $|a|<1$ et $|b|<1$, alors $~\arctan a+ \arctan b=\arctan \frac {a+b}{1-ab}$.
Çà peut servir.

En effet, je ne sais pas d'où est venu cet accent incongru et qui n'était pas intentionnel..

Bonjour.

Rien de surprenant, numérateur et dénominateurs sont "symétriques en a, b, c, d". Ils ne changent pas sur une permutation de ces 4 lettres.

Cordialement.

Intéressant, jandri ! Comment as-tu fait ?

Et la symétrie est évidente sur ce que tu as écrit.

@YvesM
Bien sûr, mais dans la formule $\displaystyle\sum_{x\in E}\arctan x=2\pi$ on cite les éléments de $E$ sans répétition.

Salut Jandri

Et dire que de mon côté, je comptais (je sais c'est pas bien, mais les temps sont difficiles) tirer un bon prix de quelques solutions entières de $(ab-1)(cd-1)-(a+b)(c+d)=1$, par exemple $a=1$, $b=2$, $c=4$, $d= 14$.

Mon espoir de magot qui fout le camp.

Mais, Fibonacci, as-tu lu ce qu'a écrit jandri plus haut ?
Il a expliqué qu'il n'y avait que 12 solutions et il a même dit comment le démontrer.

J'ai envoyé à Fibonacci un message privé détaillant davantage ma solution (je le reproduis dessous) mais apparemment il essaie de résoudre l'exercice par une autre méthode.

Comme une somme de 4 arc-tangentes est inférieure à $2\pi$ il en faut au moins 5.
On calcule que la somme des arc-tangentes des 6 premiers entiers est supérieure à $2\pi$ ($\pi$ pour la somme des 3 premiers, formule de Chaurien pour les 3 derniers en utilisant $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$, il en faut au plus 5 donc finalement exactement 5.

On calcule que la somme des arc-tangentes des entiers de 2 à 6 est supérieure à $2\pi$, le plus petit des 5 entiers est donc nécessairement égal à 1.
On calcule que $\pi/4$ plus la somme des arc-tangentes des entiers de 4 à 7 est supérieur à $2\pi$, le deuxième des 5 entiers est donc nécessairement égal à 2 ou 3.
On traite séparément les cas 2 et 3 et de manière analogue on calcule quelles sont les valeurs possibles pour le troisième entier.

Je traite par exemple le cas où les trois plus petits entiers sont 1, 2 et 4. J’appelle $x$ et $y$ les deux derniers entiers :
$\arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(4)+\arctan(x)+\arctan(y)=2\pi$ est équivalent à $\pi-\arctan(3)+\arctan(4) +\arctan(x)+\arctan(y)=2\pi$ ou encore, en utilisant $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$, à $\arctan(1/x)+\arctan(1/y)= \arctan(1/3)-\arctan(1/4)=\arctan(1/13)$.

Cela donne $(x+y)/(xy-1)=1/13$ d’où $(x-13)(y-13)=170=2\times5\times17$.
Avec $x<y$ on obtient $x-13\in\{1, 2, 5, 10\}$ d’où $x\in\{14, 15, 18, 23\}$ et respectivement $y\in\{183, 98, 47, 30\}$.

@YvesM
Bonne question. J'ai supposé les entiers distincts deux à deux car les exemples qui ont été trouvés au début du fil comportaient des entiers distincts deux à deux.
C'est aussi pour éliminer les solutions qui s'obtiennent à partir de $\arctan 1=\dfrac{\pi}4$ et $\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi$ :
$8\arctan 1= 2\pi$
$5\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = 2\pi$
$2\arctan 1 + 2\arctan 2 + 2\arctan 3 = 2\pi$

Il peut être intéressant de rechercher toutes les solutions avec des entiers éventuellement égaux mais je ne l'ai pas fait.