Mesure et intégrale de Lebesgue

J'ai dépensé beaucoup de temps pour un problème. Cependant, je n'ai rien réussi. De plus, nous n'avons pas étudié ceci mais le professeur nous a demandé de l'apprendre tous seuls. J'ai cherché sur Internet mais je ne comprends rien. Le problème est :

Construire, si possible, une fonction $f \in L^1([0,\infty[)$ continue et non bornée. Dans le cas où ce qui précède soit possible, déduire si c'est possible pour faire la construction de sorte que l'on puisse calculer la valeur exacte de
$$\int_{0}^{\infty} f(x) \: dx.


$$ Merci beaucoup.